Zuletzt aktualisiert: 2026-07-01

Was dieser Rechner macht

Dieser Rechner bestimmt die Inverse einer 2×2-Matrix. Gib die vier Einträge von A = [[a, b], [c, d]] ein, und er liefert die Determinante und die vier Einträge von A⁻¹ samt schrittweiser Herleitung. Hat die Matrix keine Inverse, sagt er das, statt sinnlose Zahlen auszugeben.

Die Inverse einer Matrix A wird $A^{-1}$ geschrieben und ist über die Beziehung $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ definiert, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist.

Die Formel für die 2×2-Inverse

Für eine 2×2-Matrix ergibt sich die Inverse aus der Adjunkten geteilt durch die Determinante:

Man merkt sich den Matrixteil leicht: Vertausche die beiden Hauptdiagonaleinträge ($a$ und $d$), kehre das Vorzeichen der beiden Nebendiagonaleinträge ($b$ und $c$) um und teile dann alles durch die Determinante $ad - bc$.

Die Determinante zuerst

Die Determinante $\det A = ad - bc$ entscheidet, ob überhaupt eine Inverse existiert. Ist sie von null verschieden, liefert die obige Formel die eindeutige Inverse. Ist sie null, ist die Matrix singulär und besitzt keine Inverse – es gibt keine Matrix, mit der man multiplizieren kann, um die Einheitsmatrix zu erhalten.

Durchgerechnetes Beispiel

Betrachte die Matrix [[4, 3], [6, 3]].

Zuerst die Determinante:

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

Da die Determinante nicht null ist, existiert die Inverse. Wende die Formel an:

Das Ergebnis prüfen

Eine gute Gewohnheit ist, die ursprüngliche Matrix mit der Inversen zu multiplizieren und zu bestätigen, dass sich die Einheitsmatrix ergibt:

Das Produkt ist die Einheitsmatrix, was bestätigt, dass die Inverse korrekt ist. Winzige Abweichungen in der letzten Dezimalstelle stammen allein vom Runden der angezeigten Einträge.

Wenn die Inverse nicht existiert

Eine 2×2-Matrix ist singulär, wenn $ad - bc = 0$ ist. Geometrisch liegen ihre beiden Spaltenvektoren auf derselben Geraden, sodass die Transformation die Ebene auf eine Gerade abflacht und Information verloren geht – sie lässt sich nicht umkehren. Zum Beispiel hat [[2, 4], [1, 2]] die Determinante $(2)(2) - (4)(1) = 0$ und damit keine Inverse.

Ax = b mit der Inversen lösen

Eine der Hauptanwendungen der Inversen ist das Lösen eines linearen Gleichungssystems. Gilt $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ und ist $A$ invertierbar, so liefert die Multiplikation beider Seiten mit $A^{-1}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

Für ein 2×2-System ist das ein schneller Weg zur Lösung, sobald die Inverse bekannt ist. Ist die Koeffizientenmatrix singulär, hat das System entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Nützliche Eigenschaften

• $(A^{-1})^{-1} = A$ – zweimaliges Invertieren liefert die ursprüngliche Matrix.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ – die Inverse eines Produkts kehrt die Reihenfolge um.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ – die Determinante der Inversen ist der Kehrwert der Determinante.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ – Transponieren und Invertieren sind vertauschbar.