Zuletzt aktualisiert: 2026-06-05

Definition

Die Matrizenmultiplikation ist eine binäre Operation, die zwei Matrizen A und B zu einer Produktmatrix C = A·B verknüpft. Mit diesem Rechner lassen sich quadratische Matrizen der Größe 2×2 oder 3×3 multiplizieren: Einträge in beide Matrizen eingeben, die Ergebnismatrix wird direkt berechnet.

Berechnungsregel

Der Eintrag in Zeile i und Spalte j der Produktmatrix C ergibt sich als Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B:

$$c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}$$

Für zwei n×n-Matrizen sind pro Eintrag n Multiplikationen und (n−1) Additionen erforderlich; der Gesamtaufwand beträgt O(n³).

Für den 2×2-Fall lautet die vollständige Formel:

$$C = A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

Rechenbeispiel (2×2)

Gegeben seien

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$

Die vier Einträge des Produkts werden einzeln berechnet:

$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$

$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22$

$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = 43$

$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = 50$

Das Ergebnis ist:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Nichtkommutativität

Die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: A·B ≠ B·A. Mit denselben Matrizen aus dem Beispiel oben ergibt sich:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

A·B und B·A sind zwei verschiedene Matrizen. Dies unterscheidet die Matrizenmultiplikation grundlegend von der Multiplikation reeller Zahlen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Der geometrische Grund: A·B bedeutet „zuerst B anwenden, dann A", während B·A „zuerst A, dann B" bedeutet. Zwei Abbildungen nacheinander auszuführen liefert im Allgemeinen ein anderes Ergebnis, wenn man die Reihenfolge tauscht.

Geometrische Bedeutung

Eine quadratische Matrix beschreibt eine lineare Abbildung des Raumes. Dazu zählen Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen. Das Produkt A·B entspricht der Hintereinanderausführung (Komposition) beider Abbildungen.

Diese Kompositionseigenschaft erklärt zugleich die Assoziativität der Matrizenmultiplikation: A·(B·C) = (A·B)·C, weil es unerheblich ist, welche zwei der drei Abbildungen man zuerst zusammenfasst — die Gesamtabfolge bleibt dieselbe.

Einheitsmatrix

Die n×n-Einheitsmatrix I besitzt auf der Hauptdiagonale den Wert 1 und sonst überall 0. Sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation:

$A \cdot I = I \cdot A = A$

Geometrisch beschreibt I die identische Abbildung — keine Drehung, keine Skalierung, kein Objekt wird verändert. Jede invertierbare Matrix A besitzt eine inverse Matrix A⁻¹ mit A·A⁻¹ = I.

Anwendungen

Die Matrizenmultiplikation tritt überall dort auf, wo mehrere lineare Abbildungen miteinander verknüpft werden:

• 3D-Computergrafik: Drehung, Skalierung und Translation eines Objekts werden je als 4×4-Matrix in homogenen Koordinaten dargestellt. Durch einmalige Multiplikation dieser Matrizen entsteht eine Gesamttransformationsmatrix, die auf jeden Eckpunkt des Modells angewendet wird. Grafikprozessoren (GPUs) sind deshalb speziell für Matrizenmultiplikationen optimiert.
• Lineare Gleichungssysteme: Das System Ax = b lässt sich durch Bildung von A⁻¹·b lösen, sofern A invertierbar ist. Direkte Lösungsverfahren wie die Gaußsche Elimination nutzen intern ebenfalls Matrizenoperationen.
• Neuronale Netze: Jede vollständig verbundene Schicht eines neuronalen Netzes führt eine affine Abbildung durch — eine Matrizenmultiplikation gefolgt von einer Biasaddition. Moderne Deep-Learning-Bibliotheken sind daher auf hochoptimierte Matrizenmultiplikationen aufgebaut.
• Markov-Ketten: Die k-fache Multiplikation einer Übergangsmatrix mit sich selbst liefert die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach k Schritten.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Ist die Matrizenmultiplikation kommutativ?

Nein. Im Allgemeinen gilt A·B ≠ B·A. Mit A = [[1,2],[3,4]] und B = [[5,6],[7,8]] ergibt sich A·B = [[19,22],[43,50]], aber B·A = [[23,34],[31,46]] — zwei verschiedene Matrizen. Ausnahmen existieren, etwa bei der Einheitsmatrix oder bei Diagonalmatrizen, doch das sind Sonderfälle.

Was bedeutet die Matrizenmultiplikation geometrisch?

Jede quadratische Matrix beschreibt eine lineare Abbildung des Raumes — eine Kombination aus Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen. Das Produkt A·B entspricht der Hintereinanderausführung beider Abbildungen: zuerst wird B angewendet, danach A. Die Reihenfolge ist entscheidend, weil eine Drehung gefolgt von einer Scherung im Allgemeinen ein anderes Ergebnis liefert als die umgekehrte Abfolge.

Kann man auch nicht-quadratische Matrizen multiplizieren?

Ja, sofern die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. Eine m×n-Matrix multipliziert mit einer n×p-Matrix ergibt eine m×p-Matrix. Dieser Rechner beschränkt sich auf quadratische 2×2- und 3×3-Matrizen, die in der linearen Algebra und in der 2D/3D-Computergrafik am häufigsten auftreten.

Wie wird Matrizenmultiplikation in der 3D-Computergrafik verwendet?

In der 3D-Computergrafik wird jede Transformation eines Objekts — Drehung, Skalierung, Translation — als 4×4-Matrix in homogenen Koordinaten dargestellt. Soll ein Objekt nacheinander mehrere Transformationen durchlaufen, werden die zugehörigen Matrizen einmalig miteinander multipliziert. Die resultierende Gesamtmatrix wird anschließend auf jeden Eckpunkt des Objekts angewendet. Grafikprozessoren (GPUs) sind deshalb speziell auf Matrizenmultiplikationen optimiert.