Erstellt am: 13. Juni 2026 um 18:01

Geometrische Verteilung Rechner

Eingaben

Erfolgswahrscheinlichkeit	0,3
Versuchsnummer	3

Visualisierung

Wahrscheinlichkeitswert 0

Mathematik

Geometrische Verteilung Rechner

P(X=k) und kumulative Wahrscheinlichkeit P(X≤k) für die geometrische Verteilung berechnen — inklusive Erwartungswert, Varianz und Verteilungsdiagramm.

Parameter

Erfolgswahrscheinlichkeit

0 – 1

Versuchsnummer

≥ 1

Geben Sie einen Wert ein, um die Ergebnisse zu sehen.

Exakte Wahrscheinlichkeit

Details

Kumulative Wahrscheinlichkeit

Standardabweichung

Erwartungswert

Varianz

Wahrscheinlichkeiten

P(X = k) — Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs beim k. Versuch

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0,3)^{ 3-1 } \cdot 0,3 \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ k) — kumulative Wahrscheinlichkeit

\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0,3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}

Erwartungswert (mittlere Versuchsanzahl)

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0,3 } \\ &= ? \end{aligned}

Varianz

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0,3}{ 0,3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Verteilung

Wahrscheinlichkeitswert 0

Zuletzt aktualisiert: 2026-06-04

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl unabhängiger Bernoulli-Versuche beschreibt, die bis zum ersten Erfolg benötigt werden. Jeder Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und ist unabhängig von allen anderen. Anwendungsgebiete reichen von der Qualitätskontrolle in der Fertigung über die Zuverlässigkeitsanalyse bis hin zur Modellierung von Wartezeiten in der Stochastik.

Formel

Dieser Rechner verwendet die Konvention „Versuche bis zum ersten Erfolg": $X$ ist die Versuchsnummer des ersten Erfolgs, also $X \geq 1$ . Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (englisch: probability mass function, PMF) und die kumulative Verteilungsfunktion lauten:

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

Erwartungswert und Varianz von $X$ unter dieser Konvention:

\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

Eine zweite, in der Kombinatorik verbreitete Konvention definiert $X$ als die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg ( $X \geq 0$ ). Dort lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(X = k) = (1{-}p)^k \cdot p$ , und der Erwartungswert beträgt $\tfrac{1-p}{p}$ . Dieser Rechner verwendet diese Konvention nicht.

Herleitung der Formel

Damit der erste Erfolg genau beim $k$ -ten Versuch eintritt, müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:

Die ersten $k\mathbin{-}1$ Versuche schlagen alle fehl. Da die Versuche unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit von $k\mathbin{-}1$ aufeinanderfolgenden Misserfolgen $(1{-}p)^{k-1}$ .
Versuch $k$ gelingt mit Wahrscheinlichkeit $p$ .

Das Produkt dieser unabhängigen Ereignisse ergibt $(1{-}p)^{k-1} \cdot p$ .

Die kumulative Wahrscheinlichkeit folgt aus dem Komplementärprinzip: Die einzige Möglichkeit, dass $P(X \leq k)$ nicht gilt, besteht darin, dass alle $k$ Versuche scheitern — mit Wahrscheinlichkeit $(1{-}p)^k$ . Daher gilt $P(X \leq k) = 1 - (1{-}p)^k$ .

Rechenbeispiel

Eine Qualitätsprüferin untersucht Bauteile aus einer laufenden Produktion, bei der erfahrungsgemäß 20 % aller Teile fehlerhaft sind (p = 0,20). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste fehlerhafte Teil genau beim dritten geprüften Bauteil gefunden wird?

Mit p = 0,20 und k = 3:

P(X = 3) = (1 - 0{,}20)^{3-1} \times 0{,}20 = 0{,}80^2 \times 0{,}20 = 0{,}64 \times 0{,}20 = 0{,}128

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 12,8 %. Die kumulative Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler spätestens beim dritten Bauteil auftritt:

P(X \leq 3) = 1 - 0{,}80^3 = 1 - 0{,}512 = 0{,}488

Somit ist es mit etwa 48,8 % Wahrscheinlichkeit der Fall, dass das erste fehlerhafte Teil unter den ersten drei Prüflingen gefunden wird. Der Erwartungswert beträgt $\mu = 1/0{,}20 = 5$ Bauteile.

Gedächtnislosigkeitseigenschaft

Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung mit der Gedächtnislosigkeitseigenschaft: Wenn der erste Erfolg nach $m$ Versuchen noch nicht eingetreten ist, hat die verbleibende Wartezeit dieselbe geometrische Verteilung wie zu Beginn. Formal gilt:

P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)

Diese Eigenschaft macht die geometrische Verteilung analytisch besonders handhabbar, etwa in der Warteschlangentheorie und bei sequenziellen Tests.

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Die geometrische Verteilung ist ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung mit der geforderten Erfolgsanzahl r = 1. Die Summe von $r$ unabhängigen geometrisch verteilten Zufallsvariablen folgt einer negativen Binomialverteilung, die die Anzahl der Versuche bis zum Erreichen von $r$ Erfolgen beschreibt.

Bei kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und großer Versuchsanzahl $n$ ist die Anzahl der Erfolge in $n$ geometrischen Läufen näherungsweise Poisson-verteilt. Bei $p$ nahe Eins konzentriert sich die Verteilung auf den Wert k = 1 und wird zunehmend rechtssteil.

Praktische Anwendungsgebiete

Qualitätskontrolle: Modellierung der Anzahl geprüfter Einheiten bis zum ersten Ausschuss bei konstantem Fehleranteil.
Zuverlässigkeitsanalyse: Schätzung der mittleren Betriebsdauer bis zum ersten Ausfall in Versuchsreihen mit binärem Ergebnis.
Netzwerkübertragungen: Analyse der Anzahl der Übertragungsversuche, bis ein Datenpaket fehlerfrei empfangen wird.
Klinische Studien: Berechnung der erwarteten Anzahl an Patientenscreenings bis zur ersten Aufnahme in eine Studie bei fester Einschlusswahrscheinlichkeit.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die geometrische Verteilung?

Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahl unabhängiger Bernoulli-Versuche, die benötigt werden, um den ersten Erfolg zu erzielen. Jeder Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p und ist unabhängig von allen anderen.

Liegt p = 0,3, gibt die Verteilung an, wie viele Versuche (z. B. das Würfeln einer bestimmten Zahl) bis zum ersten Treffer erforderlich sind. Die Verteilung hat die Gedächtnislosigkeitseigenschaft: Die Anzahl der noch benötigten Versuche ist unabhängig davon, wie viele Fehlversuche bereits stattgefunden haben.

Welche Konvention verwendet dieser Rechner?

Dieser Rechner verwendet die Konvention „Versuche bis zum ersten Erfolg": X ist die Nummer des Versuchs, bei dem der erste Erfolg eintritt, also X ≥ 1. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p.

Eine alternative Konvention definiert X als die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg (X ≥ 0); dort gilt P(X = k) = (1−p)^k · p. Beide Konventionen unterscheiden sich um eine Einheit im Index. Der Erwartungswert in diesem Rechner beträgt 1/p; bei der Misserfolge-vor-Erfolg-Konvention ergibt sich (1−p)/p.

Wie viele Versuche sind im Durchschnitt erforderlich?

Der Erwartungswert beträgt μ = 1/p. Bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,25 sind im Schnitt 4 Versuche nötig; bei p = 0,1 sind es 10 Versuche. Die Standardabweichung ergibt sich zu σ = √((1−p)/p²); bei p = 0,25 ist das √12 ≈ 3,46, was auf eine erhebliche Streuung hindeutet. Die Verteilung ist rechtsschief: Die meisten Abläufe enden schnell, während seltene lange Serien den Erwartungswert nach oben verschieben.

Wie hängt die geometrische Verteilung mit der negativen Binomialverteilung zusammen?

Die geometrische Verteilung ist ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung mit der geforderten Erfolgsanzahl r = 1. Die negative Binomialverteilung mit r = 1 liefert P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p, was identisch mit der geometrischen Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.

Die negative Binomialverteilung verallgemeinert dies auf die Anzahl der Versuche, die benötigt werden, um r Erfolge zu erzielen. Diese Beziehung ist nützlich, wenn geometrische Modelle auf Szenarien mit mehreren erforderlichen Erfolgen ausgedehnt werden.

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