Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Symmetrie, Winkel und Abstände

Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel — vom gleichseitigen Dreieck über das Quadrat bis zum regelmäßigen Zwölfeck. Kennt man die Seitenanzahl n und die Seitenlänge a, lassen sich alle geometrischen Maße mit einfachen trigonometrischen Beziehungen exakt berechnen: Umfang, Fläche, Innenwinkel, Außenwinkel, Inkreisradius (Apothema) und Umkreisradius.

Formeln

Umfang:

$P = n \cdot a$

Innenwinkel (jeder Eckwinkel):

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Außenwinkel (Supplement des Innenwinkels, Summe stets 360°):

$\beta = \frac{360°}{n}$

Inkreisradius (Apothema) — senkrechter Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

Umkreisradius — Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Eckpunkt:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

Fläche:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Innenwinkel nach Seitenanzahl

Seiten	Name	Innenwinkel
3	Gleichseitiges Dreieck	60°
4	Quadrat	90°
5	Regelmäßiges Fünfeck	108°
6	Regelmäßiges Sechseck	120°
8	Regelmäßiges Achteck	135°
12	Regelmäßiges Zwölfeck	150°

Rechenbeispiel

Aufgabe: Ein regelmäßiges Sechseck hat eine Seitenlänge von 8 cm. Gesucht sind Fläche, Apothema und Umkreisradius.

Mit n = 6 und a = 8 cm:

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} = \frac{8}{1{,}1547} \approx 6{,}928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = \frac{8}{1} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166{,}3 \text{ cm}^2$

Beim regelmäßigen Sechseck gilt die besondere Eigenschaft $R = a$: Umkreisradius und Seitenlänge sind identisch. Diese Symmetrie erklärt, warum Bienenwaben und viele Pflasterungen auf Sechsecken beruhen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für die Fläche eines regelmäßigen Polygons?

Die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks mit der Seitenlänge a berechnet sich als A = (n·a²) / (4·tan(π/n)). Für ein regelmäßiges Sechseck (n=6) mit Seitenlänge 10 cm gilt: A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0,5774) ≈ 259,8 cm². Eine gleichwertige Formel über das Apothema (Inkreisradius) lautet: A = ½ × Umfang × Apothema = ½ × n·a · r.

Wie berechnet man den Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons?

Der Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks beträgt α = (n − 2) × 180° / n. Gleichseitiges Dreieck (n=3): 60°, Quadrat (n=4): 90°, regelmäßiges Fünfeck (n=5): 108°, regelmäßiges Sechseck (n=6): 120°. Der Außenwinkel – das Supplement des Innenwinkels – beträgt stets 360°/n. Die Summe aller Innenwinkel ist (n−2) × 180°.

Was ist das Apothema eines regelmäßigen Polygons?

Das Apothema (auch Inkreisradius genannt) ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt des Polygons zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite. Für ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a gilt: r = a / (2·tan(π/n)). Das Apothema ist nützlich für die Flächenberechnung: A = ½ × Umfang × Apothema. Es entspricht dem Radius des größten einbeschriebenen Kreises.

Der Umkreisradius beträgt R = a / (2·sin(π/n)) und gibt den Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Eckpunkt an.