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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Vektorprojektion-Rechner

Eingaben

a — x-Komponente3
a — y-Komponente4
a — z-Komponente0
b — x-Komponente1
b — y-Komponente0
b — z-Komponente0

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/vector-projection

Mathematik

Vektorprojektion-Rechner

Projiziere Vektor a auf Vektor b: skalare Projektion, Komponenten der Vektorprojektion und die senkrechte Restkomponente. Funktioniert in 2D (z = 0 lassen) und 3D, mit schrittweiser Herleitung.

Eingaben

Vektor a (projiziert)

Vektor b (Richtung)

Ergebnisse

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Details

Schrittweise Herleitung

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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Vektorprojektion

Einen Vektor a auf einen Vektor b zu projizieren beantwortet eine einfache Frage: Wie viel von a zeigt in die Richtung von b? Die Antwort gibt es in zwei Formen — als einzelne Zahl (die skalare Projektion) und als vollständiger Vektor (die Vektorprojektion). Zusammen mit der Restkomponente zerlegen sie a in einen Anteil längs b und einen Anteil senkrecht dazu.

Skalare Projektion

Die skalare Projektion von a auf b ist die vorzeichenbehaftete Länge von a, gemessen entlang der Richtung von b:

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

Sie ist positiv, wenn a in dieselbe Richtung wie b weist, null bei Rechtwinkligkeit und negativ, wenn a entgegengesetzt zeigt.

Vektorprojektion

Die Vektorprojektion ist ein Vektor, der längs b zeigt und dessen Länge gleich dem Betrag der skalaren Projektion ist:

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Der Koeffizient a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} skaliert b so, dass das Ergebnis direkt „unter" der Spitze von a liegt.

Die Restkomponente

Die Restkomponente ist das, was von a übrig bleibt, nachdem die Projektion entfernt wurde:

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

Sie steht senkrecht auf b, sodass Projektion und Restkomponente orthogonal sind und zusammen wieder den ursprünglichen Vektor ergeben: a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

Rechenbeispiel

Sei a = (3, 4, 0) und b = (1, 0, 0).

Zuerst die Skalarprodukte:

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Der Betrag von b ist ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1, also ist die skalare Projektion:

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

Die Vektorprojektion verwendet den Koeffizienten 31=3\frac{3}{1} = 3:

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

Und die Restkomponente ist der senkrechte Rest:

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

Wie erwartet stehen (3, 0, 0) und (0, 4, 0) senkrecht aufeinander und summieren sich wieder zu (3, 4, 0).

2D und 3D

Dieselben Formeln gelten in jeder Dimension. Für ein flaches 2D-Problem lässt man die z-Komponenten auf 0 und liest die x- und y-Ergebnisse ab; die z-Ausgabe bleibt 0.

Die Arbeits-Analogie

In der Physik ist die von einer konstanten Kraft verrichtete Arbeit das Skalarprodukt aus Kraft und Verschiebung:

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

Das ist der Betrag der Kraft mal die skalare Projektion der Verschiebung auf die Kraft. Nur der Anteil der Kraft in Bewegungsrichtung verrichtet Arbeit — der senkrechte Anteil (die Restkomponente) trägt nichts bei. Dieselbe Idee zerlegt das Gewicht eines Objekts auf einer Rampe in eine Komponente längs des Hangs und eine, die es gegen die Fläche drückt.

Anwendungen

  • Gram-Schmidt-Orthogonalisierung: Subtrahiere die Projektion jedes Vektors auf die vorherigen, um eine orthogonale Basis zu bilden.
  • Methode der kleinsten Quadrate: Die beste Näherung eines Punktes in einem Unterraum ist seine Projektion auf diesen Unterraum.
  • Computergrafik: Das Projizieren einer Licht- oder Blickrichtung auf eine Fläche steuert Schattierung und Schattenlänge.
  • Kräftezerlegung: Aufteilen einer Kraft in Komponenten längs und quer zu einer Richtung, wie auf einer schiefen Ebene.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen skalarer Projektion und Vektorprojektion?

Die skalare Projektion comp_b(a) = (a · b) / |b| ist eine einzelne vorzeichenbehaftete Zahl: wie weit a entlang der Richtung von b reicht. Die Vektorprojektion proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b ist ein vollständiger Vektor — er zeigt entlang b und hat die Länge des Betrags der skalaren Projektion. Kurz gesagt: Die skalare Projektion beantwortet „wie viel", die Vektorprojektion „wie viel und in welche Richtung".

Wie projiziert man einen Vektor auf einen anderen?

Berechne das Skalarprodukt a · b und das Betragsquadrat b · b = |b|². Die skalare Projektion ist (a · b) / |b|. Die Vektorprojektion ist der Koeffizient (a · b) / (b · b) multipliziert mit b. Für a = (3, 4) und b = (1, 0): a · b = 3, |b| = 1, also ist die skalare Projektion 3 und die Vektorprojektion (3, 0).

Was ist die senkrechte Restkomponente?

Die Restkomponente ist der Teil von a, der übrig bleibt, nachdem seine Projektion auf b entfernt wurde: a − proj_b(a). Sie steht senkrecht auf b, sodass Projektion und Restkomponente a in zwei orthogonale Teile zerlegen, die zusammen wieder a ergeben. Diese Zerlegung ist die Grundlage des Gram-Schmidt-Verfahrens und der Aufteilung einer Kraft in Komponenten längs und quer zu einer Fläche.

Wo werden Projektionen in der Physik verwendet?

Die von einer konstanten Kraft verrichtete Arbeit ist W = F · d = |F| |d| cos θ, also der Betrag der Kraft mal die skalare Projektion der Verschiebung entlang der Kraft. Nur der Anteil der Kraft in Bewegungsrichtung verrichtet Arbeit; der senkrechte Anteil (die Restkomponente) trägt nichts bei. Projektionen zerlegen auch das Gewicht eines Objekts auf einer schiefen Ebene in Komponenten längs und senkrecht zur Fläche.

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