Zuletzt aktualisiert: 2026-06-05

Definition

Der senkrechte Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge des kürzesten Verbindungsstücks zwischen P und einem Punkt auf g. Dieses kürzeste Stück steht immer senkrecht auf der Geraden. Für eine Gerade in der Normalform Ax + By + C = 0 gilt:

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Der Zähler ist der skalare Einschub des Punktes P in die Geradengleichung; der Nenner normiert das Ergebnis auf die Länge des Normalenvektors und liefert so eine echte geometrische Länge.

Herleitung

Der Normalenvektor der Geraden Ax + By + C = 0 ist n = (A, B) mit der Länge |n| = √(A² + B²). Jeder Punkt Q = (x₀, y₀) auf der Geraden erfüllt Ax₀ + By₀ + C = 0.

Die vorzeichenbehaftete Projektion des Vektors QP = (p_x − x₀, p_y − y₀) auf den Einheitsnormalenvektor n̂ = (A, B) / |n| ist:

$\text{vorz. Abstand} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Da Q auf der Geraden liegt, gilt Ax₀ + By₀ = −C, also:

$\text{vorz. Abstand} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Der Betrag davon ist der gesuchte vorzeichenfreie Abstand d. Das Vorzeichen gibt an, auf welcher Seite der Geraden P liegt.

Lotfußpunkt

Der Lotfußpunkt F ist der Punkt auf der Geraden, der P am nächsten liegt. Man verschiebt P um t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²) in Richtung des Normalenvektors:

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

Zur Probe: AF_x + BF_y + C = 0 (F liegt auf der Geraden), und die Länge der Strecke PF ist gleich d.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Gesucht sind der Abstand des Punktes P = (1, −2) von der Geraden 3x − 4y + 5 = 0 und die Koordinaten des Lotfußpunktes.

Schritt 1 — Zähler und Nenner:

$Ap_x + Bp_y + C = 3 \cdot 1 + (-4) \cdot (-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Schritt 2 — Abstand:

$d = \frac{|16|}{5} = 3{,}2$

Schritt 3 — Lotfußpunkt:

$t = \frac{16}{25} = 0{,}64$

$F_x = 1 - 3 \cdot 0{,}64 = 1 - 1{,}92 = -0{,}92, \qquad F_y = -2 - (-4) \cdot 0{,}64 = -2 + 2{,}56 = 0{,}56$

Probe: 3 · (−0,92) + (−4) · 0,56 + 5 = −2,76 − 2,24 + 5 = 0 ✓

Der Punkt P liegt 3,2 Einheiten von der Geraden entfernt; der nächstgelegene Punkt auf der Geraden ist F = (−0,92; 0,56).

Umrechnung aus der Normalform y = mx + b

Liegt die Gerade in der Form y = mx + b vor, stellt man um:

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

Beispiel: y = 2x − 3 ergibt 2x − y − 3 = 0, also A = 2, B = −1, C = −3.

Eine Multiplikation aller Koeffizienten mit derselben von null verschiedenen Konstante ändert den Abstand nicht, da Zähler und Nenner um denselben Faktor wachsen und sich kürzen.

Vorzeichenbehafteter Abstand

Der Rechner gibt den vorzeichenfreien Wert d ≥ 0 aus. Der vorzeichenbehaftete Ausdruck (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²) ist positiv, wenn P auf der Seite des Normalenvektors liegt, und negativ auf der anderen Seite. Dieser vorzeichenbehaftete Wert ist in Anwendungen wie Halbebenen-Tests oder der Klassifikation mit Stützvektoren gebräuchlich.

Sonderfälle

• Punkt auf der Geraden: Ap_x + Bp_y + C = 0, also d = 0 und F = P.
• Waagerechte Gerade (A = 0): vereinfacht sich zu d = |By + C| / |B|.
• Senkrechte Gerade (B = 0): vereinfacht sich zu d = |Ax + C| / |A|.
• Degenerierte Gleichung (A = B = 0): Für C = 0 erfüllt jeder Punkt die Gleichung (keine Gerade); für C ≠ 0 erfüllt kein Punkt die Gleichung. In beiden Fällen ist die Abstandsformel nicht definiert.

Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras

Die Herleitung lässt sich geometrisch als rechtwinkliges Dreieck veranschaulichen: P, der Lotfußpunkt F und ein weiterer Punkt Q auf der Geraden bilden ein Dreieck mit dem rechten Winkel bei F. Die Hypotenuse PQ erfüllt PQ² = PF² + FQ², was bestätigt, dass PF (der senkrechte Abstand) kürzer ist als jede andere Verbindungsstrecke von P zur Geraden.