2×2 Lineares Gleichungssystem lösen — Cramersche Regel

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (2×2-System) besteht aus zwei linearen Gleichungen, in denen zwei Variablen x und y gemeinsam auftreten:

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

Die Koeffizienten a₁, b₁, a₂, b₂ sowie die rechten Seiten c₁ und c₂ sind gegebene Zahlen. Gesucht sind die Werte von x und y, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Der Rechner ermittelt diese Lösung mithilfe der Cramerschen Regel und zeigt alle Zwischenschritte an — einschließlich der Determinante und der einzelnen Cramer-Zähler.

Die Cramersche Regel

Zunächst wird die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnet:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Ist D ≠ 0, lautet die eindeutige Lösung:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Jeder Zähler entspricht der Determinante der Koeffizientenmatrix, bei der eine Spalte durch den Vektor der rechten Seite ersetzt wird. Mathematisch steckt dahinter die Formel $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ — die Cramersche Regel ist deren komponentenweise Auflösung.

Geometrische Bedeutung

Jede Gleichung $ax + by = c$ beschreibt eine Gerade in der xy-Ebene. Das Gleichungssystem zu lösen bedeutet, den Schnittpunkt beider Geraden zu finden.

• D ≠ 0 (eindeutige Lösung): Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Die Koeffizientenmatrix ist regulär.
• D = 0, Zähler beide null (unendlich viele Lösungen): Die Geraden sind deckungsgleich — eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist eine Lösung.
• D = 0, mindestens ein Zähler ≠ 0 (keine Lösung): Die Geraden sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Das System ist widersprüchlich.

Rechenbeispiel

Wir lösen das voreingestellte Gleichungssystem:

$2x + 3y = 8 \quad \text{und} \quad x - y = 1$

Schritt 1 — Determinante berechnen:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Da D ≠ 0, existiert eine eindeutige Lösung.

Schritt 2 — x berechnen:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Schritt 3 — y berechnen:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Probe:

$2 \cdot 2{,}2 + 3 \cdot 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{und} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Wenn die Determinante null ist

Ist D = 0, sind die beiden Zeilen der Koeffizientenmatrix proportional: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. Dann entscheidet die rechte Seite:

• Ist auch $c_1 = k\,c_2$, sind beide Cramer-Zähler null → unendlich viele Lösungen.
• Weicht $c_1$ davon ab, ist mindestens ein Zähler von null verschieden → keine Lösung.

Kurzcheck: Beide Zähler $c_1 b_2 - c_2 b_1$ und $a_1 c_2 - a_2 c_1$ auf null prüfen. Sind sie es, liegt ein unbestimmtes System vor; andernfalls ist es widersprüchlich.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was sagt die Determinante über das Gleichungssystem aus?

Die Determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ gibt an, ob die Koeffizientenmatrix invertierbar ist. Ist D ≠ 0, schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt — das System hat eine eindeutige Lösung. Ist D = 0, sind die Geraden parallel oder deckungsgleich, und das System ist entweder unlösbar oder unbestimmt.

Wann hat ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?

Wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben — d. h. eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen — ist die Determinante null und beide Cramer-Zähler sind ebenfalls null. Jeder Punkt auf dieser Geraden erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig.

Cramersche Regel oder Einsetzungsverfahren — was ist einfacher?

Das Einsetzungsverfahren ist für einfache Systeme anschaulich: eine Variable ausdrücken und einsetzen. Die Cramersche Regel liefert dagegen direkt eine geschlossene Formel, was besonders nützlich ist, wenn viele Systeme mit gleicher Koeffizientenmatrix, aber unterschiedlicher rechter Seite gelöst werden sollen.

Warum bedeutet D = 0 nicht immer, dass keine Lösung existiert?

D = 0 zeigt nur, dass die Koeffizientenmatrix singulär ist — die Zeilen sind linear abhängig. Ob eine Lösung existiert, hängt zusätzlich von der rechten Seite ab. Sind beide Cramer-Zähler ebenfalls null, ist das System konsistent und hat unendlich viele Lösungen. Erst wenn mindestens ein Zähler von null abweicht, ist das System inkonsistent und hat keine Lösung.