Diskriminante berechnen
Diskriminante D = b²−4ac berechnen. Koeffizienten a, b, c eingeben und die Art der Lösungen ermitteln — zwei reelle, doppelte oder komplexe Lösungen.
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Definition
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ist der Ausdruck D = b² − 4ac. Sie gibt an, wie viele und welche Art von Lösungen die Gleichung besitzt — ganz ohne das aufwändige Einsetzen in die Lösungsformel. Das Vorzeichen von D reicht aus, um den Lösungstyp zu bestimmen. Ab der Mittelstufe ist die Diskriminante ein Standardwerkzeug zur Analyse quadratischer Gleichungen.
Berechnung Schritt für Schritt
- Quadrat des mittleren Koeffizienten: b²
- Produkt der äußeren Koeffizienten, vierfach: 4 · a · c
- Differenz: D = b² − 4ac
Kein Bruchrechnen, keine Wurzel — nur drei Grundoperationen. Das Ergebnis entscheidet über den Lösungstyp.
Das Vorzeichen der Diskriminante
| Diskriminante | Lösungstyp | Geometrische Bedeutung |
|---|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten |
| D = 0 | Doppelte reelle Lösung | Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt |
| D < 0 | Zwei konjugiert-komplexe Lösungen | Parabel liegt vollständig über oder unter der x-Achse |
Im Fall D = 0 liegt der Scheitelpunkt der Parabel genau auf der x-Achse; die einzige reelle Lösung ist x = −b / (2a).
Rechenbeispiele
Beispiel 1 — D > 0 (zwei reelle Lösungen)
Gleichung: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)
Rechnung: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1
Da D = 1 > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Einsetzen in die Lösungsformel ergibt x₁ = 2 und x₂ = 3 — die Parabel y = x² − 5x + 6 schneidet die x-Achse genau dort.
Beispiel 2 — D = 0 (doppelte Lösung)
Gleichung: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)
Rechnung: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0
Die doppelte Lösung ist x = −(−6) / (2 · 1) = 3. Die Gleichung lässt sich als (x − 3)² = 0 schreiben; der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x = 3 auf der x-Achse.
Beispiel 3 — D < 0 (komplexe Lösungen)
Gleichung: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)
Rechnung: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3
Da D = −3 < 0, gibt es keine reellen Lösungen. Die beiden konjugiert-komplexen Lösungen lauten . Der Wert entspricht dem Betrag des Imaginärteils.
Zusammenhang mit der Lösungsformel
Die quadratische Lösungsformel (auch „Mitternachtsformel" oder „abc-Formel" genannt) lautet:
Der Radikand unter der Wurzel ist die Diskriminante D. Bei D > 0 liefert das ± zwei verschiedene Lösungen. Bei D = 0 fällt der Wurzelterm weg, und es bleibt eine einzige Lösung. Bei D < 0 ist die Wurzel nicht reell definiert — man erhält komplexe Lösungen. Die Diskriminante klärt also vorab, in welchen dieser drei Fälle man sich befindet.
Sonderfall: a = 0
Ist a = 0, wird ax² + bx + c = 0 zur linearen Gleichung bx + c = 0. Die Formel D = b² − 4ac liefert zwar eine Zahl (nämlich b²), diese hat aber keine Aussagekraft als Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Dieser Rechner verlangt a ≠ 0 und zeigt bei a = 0 eine Fehlermeldung. Die Lösung der linearen Gleichung ist x = −c / b (für b ≠ 0).
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wofür braucht man die Diskriminante?
Die Diskriminante D = b² − 4ac gibt an, wie viele reelle Lösungen die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat, ohne sie tatsächlich zu lösen.
Ist D > 0, schneidet die Parabel y = ax² + bx + c die x-Achse an zwei verschiedenen Stellen. Bei D = 0 berührt sie die x-Achse genau einmal (Scheitelpunkt auf der x-Achse). Bei D < 0 liegt die Parabel vollständig ober- oder unterhalb der x-Achse, die Lösungen sind komplex. Der Ausdruck unter der Wurzel in der Lösungsformel ist genau diese Diskriminante.
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Ist D = b² − 4ac negativ, so ist √D imaginär — die Gleichung hat keine reellen Lösungen. Die beiden Lösungen sind konjugiert-komplexe Zahlen der Form α ± βi, wobei α = −b / (2a) und β = √|D| / (2a). Konjugiert-komplexe Paare treten bei quadratischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten immer gemeinsam auf. Geometrisch bedeutet das: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Wie hängt die Diskriminante mit der Lösungsformel zusammen?
In der Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) steht die Diskriminante D genau unter der Wurzel. Für D > 0 ist √D eine positive reelle Zahl — das ± liefert zwei verschiedene reelle Lösungen. Für D = 0 entfällt der ±-Term, und es gibt genau eine Lösung x = −b / (2a). Für D < 0 ist √D imaginär, und die Lösungsformel liefert zwei konjugiert-komplexe Zahlen. Die Diskriminante entscheidet also vorab, in welchen der drei Fälle man sich befindet.
Was passiert, wenn a gleich 0 ist?
Ist a = 0, vereinfacht sich ax² + bx + c = 0 zur linearen Gleichung bx + c = 0. Die Formel D = b² − 4ac liefert zwar einen Wert, dieser hat aber keine Bedeutung als Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Dieser Rechner erfordert a ≠ 0 und zeigt bei a = 0 eine Fehlermeldung. Die Lösung der linearen Gleichung lautet x = −c / b (sofern b ≠ 0).
Weitere Empfehlungen
Quadratische Gleichung – Löser
Löse ax² + bx + c = 0. Gib die drei Koeffizienten ein, um die Diskriminante und beide Lösungen zu erhalten – reell oder komplex.