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Erstellt am: 20. Juli 2026 um 21:33

Harmonisches Mittel berechnen

Eingaben

Positive Werte2, 4, 8

Ergebnisse

Harmonisches Mittel3,4286
\begin{aligned} H &= \dfrac{n}{\sum_{i} \frac{1}{x_i}} \\ &= \dfrac{3}{{\text{?}}} \\ &= 3,4286 \end{aligned}
Geometrisches Mittel4
\begin{aligned} G &= \left(\prod_{i} x_i\right)^{1/n} \\ &= 4 \end{aligned}
Arithmetisches Mittel4,6667
\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 4,6667 \end{aligned}
Anzahl3

Erstellt mit OneCalc · https://onecalc.app/de/math/harmonic-mean

Mathematik

Harmonisches Mittel berechnen

Berechnen Sie das harmonische Mittel einer Menge positiver Zahlen zusammen mit dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel zum Vergleich. Geben Sie kommagetrennte Werte ein, um alle drei pythagoreischen Mittel zu sehen.

Eingaben

Ergebnisse

\begin{aligned} H &= \dfrac{n}{\sum_{i} \frac{1}{x_i}} \\ &= \dfrac{3}{{\text{?}}} \\ &= 3,4286 \end{aligned}

Details

\begin{aligned} G &= \left(\prod_{i} x_i\right)^{1/n} \\ &= 4 \end{aligned}
\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{1}{n}\sum_{i} x_i \\ &= 4,6667 \end{aligned}

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Das harmonische Mittel

Das harmonische Mittel von n positiven Zahlen ist die Anzahl geteilt durch die Summe der Kehrwerte der Werte. Für die Werte x₁, x₂, …, xₙ lautet das harmonische Mittel H:

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)

Gleichbedeutend ist es der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte. Während das arithmetische Mittel die Werte direkt addiert, rechnet das harmonische Mittel im Kehrwertraum – und genau deshalb ist es das richtige Mittel für Raten.

Wann das harmonische Mittel verwenden

Das harmonische Mittel ist das passende Mittel, wann immer die Daten Raten oder Verhältnisse mit einer festen Größe im Zähler sind. Die häufigsten Anwendungen sind:

Durchschnittsgeschwindigkeit über gleiche Strecken. Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeiteinheit. Sind die mit jeder Geschwindigkeit zurückgelegten Strecken gleich, ist die Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit das harmonische Mittel der Einzelgeschwindigkeiten, nicht ihr arithmetisches Mittel.

Kurs-Gewinn- und andere Finanzverhältnisse. Beim Mitteln von KGVs über mehrere Unternehmen – oder beim Bilden eines Index daraus – vermeidet das harmonische Mittel die Verzerrung, die einige sehr hohe Verhältnisse in einem arithmetischen Durchschnitt sonst einbringen würden.

Raten und Dichten in Physik und Technik. Parallelwiderstände, effektive Arbeitsraten bei gemeinsam erledigten Aufgaben und Verbrauchsangaben (Strecke pro Kraftstoffeinheit) kombinieren sich allesamt über Kehrwerte, sodass das harmonische Mittel die korrekte Kenngröße ist.

Eine einfache Faustregel: Sind die Daten Raten in der Form „etwas pro Einheit“ und wird dieses Etwas konstant gehalten, liefert das harmonische Mittel die wahre Gesamtrate.

Rechenbeispiel

Ein Lieferwagen fährt eine feste Route über drei gleich lange Abschnitte mit 2 km/h, dann 4 km/h, dann 8 km/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Route ist das harmonische Mittel der drei Geschwindigkeiten:

  • Summe der Kehrwerte: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0,875
  • Harmonisches Mittel: 3 / 0,875 = 24/7 ≈ 3,43 km/h

Vergleichen Sie dies mit dem arithmetischen Mittel (2 + 4 + 8) / 3 ≈ 4,67 km/h. Der arithmetische Wert ist zu hoch, weil auf den langsamen Abschnitten mehr Zeit verbracht wird – das harmonische Mittel berücksichtigt diese zusätzliche Zeit korrekt.

Warum die Durchschnittsgeschwindigkeit ein harmonisches Mittel ist

Betrachten wir eine Hin- und Rückfahrt gleicher Strecken mit 60 km/h hin und 40 km/h zurück. Die Gesamtstrecke ist 2d und die Gesamtzeit d/60 + d/40. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist Gesamtstrecke durch Gesamtzeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit = 2d / (d/60 + d/40) = 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h

Die Strecken d heben sich auf und es bleibt genau das harmonische Mittel von 60 und 40. Das funktioniert, weil die Strecken gleich sind. Wären stattdessen die Zeiten gleich – eine Stunde mit 60 km/h, dann eine Stunde mit 40 km/h –, wäre das arithmetische Mittel von 50 km/h korrekt. Welches Mittel das richtige ist, hängt vollständig davon ab, welche Größe konstant gehalten wird.

Die AM-GM-HM-Ungleichung

Für jede Liste positiver Zahlen sind die drei pythagoreischen Mittel geordnet:

arithmetisches Mittel ≥ geometrisches Mittel ≥ harmonisches Mittel

Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind. Für die Werte 2, 4, 8 beträgt das arithmetische Mittel etwa 4,667, das geometrische 4 und das harmonische etwa 3,429 – eine klare Veranschaulichung von AM ≥ GM ≥ HM. Die Abstände wachsen, je stärker die Daten streuen, sodass der Abstand zwischen den drei Mitteln selbst ein grobes Maß für die Streuung ist.

Diese Ordnung folgt aus der Konvexität der Kehrwert- und Logarithmusfunktion und ist eine der klassischen Ungleichungen der Mathematik.

Warum alle Werte positiv sein müssen

Das harmonische Mittel beruht auf Kehrwerten. Ein Wert von null hat keinen Kehrwert, sodass die Formel undefiniert ist. Eine Mischung aus positiven und negativen Werten kann die Kehrwerte fast aufheben und das harmonische Mittel zu einer beliebig großen oder bedeutungslosen Zahl treiben. In jeder realen Anwendung – Geschwindigkeiten, Raten, Preise, Frequenzen – sind die Größen von Natur aus positiv, sodass die Forderung nach Werten größer null der Praxis entspricht.

Beziehung zu anderen Mitteln

Das harmonische Mittel ist eines von drei pythagoreischen Mitteln:

  • Arithmetisches Mittel (AM): der gewöhnliche Durchschnitt – passend für additive Größen.
  • Geometrisches Mittel (GM): die n-te Wurzel des Produkts – passend für multiplikative Größen wie Wachstumsfaktoren.
  • Harmonisches Mittel (HM): der Kehrwert des Durchschnitts der Kehrwerte – passend für Raten und Verhältnisse.

Dieser Rechner berechnet alle drei, sodass Sie sie direkt vergleichen und die Ordnung AM ≥ GM ≥ HM für Ihre eigenen Daten bestätigen können.

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann sollte ich das harmonische Mittel verwenden?

Verwenden Sie das harmonische Mittel, wenn Sie Raten oder Verhältnisse mit einem gemeinsamen Zähler mitteln – Größen, die als „etwas pro Einheit“ ausgedrückt werden, etwa Geschwindigkeit (Strecke pro Stunde), Kurs-Gewinn-Verhältnisse oder Dichte. Da diese Größen als feste Menge geteilt durch eine veränderliche Basis definiert sind, ergibt sich ihr wahrer Mittelwert aus der Mittelung der Kehrwerte – genau das leistet das harmonische Mittel.

Faustregel: Sind die Daten Raten und steht die konstant gehaltene Größe im Zähler (die Strecken sind gleich, die investierten Beträge sind gleich), liefert das harmonische Mittel die korrekte Gesamtrate. Für additive Größen wie Temperaturen oder Prüfungspunkte verwenden Sie stattdessen das arithmetische Mittel.

Warum ist die Durchschnittsgeschwindigkeit ein harmonisches Mittel?

Angenommen, eine Fahrt legt dieselbe Strecke mit zwei verschiedenen Geschwindigkeiten zurück – etwa 60 km/h hin und 40 km/h zurück. Das arithmetische Mittel (50 km/h) ist falsch, weil bei der langsameren Geschwindigkeit mehr Zeit aufgewendet wird. Die korrekte Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt ist das harmonische Mittel der beiden Geschwindigkeiten: 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h.

Das harmonische Mittel gilt hier, weil die Strecken gleich sind, während die Zeiten verschieden sind. Wären stattdessen die Zeiten gleich (eine Stunde mit 60 km/h, dann eine Stunde mit 40 km/h), wäre das arithmetische Mittel korrekt. Das richtige Mittel danach zu wählen, was konstant gehalten wird, ist entscheidend.

Warum müssen alle Werte positiv sein?

Das harmonische Mittel beruht auf Kehrwerten: Es teilt die Anzahl durch die Summe von 1/x über die Werte. Ist ein Wert null, ist sein Kehrwert nicht definiert und die Formel versagt. Können Werte sowohl positiv als auch negativ sein, können sich die Kehrwerte aufheben und eine Summe nahe null erzeugen, wodurch das harmonische Mittel einen beliebig großen oder bedeutungslosen Wert annimmt.

In der Praxis wird das harmonische Mittel auf von Natur aus positive Größen angewendet – Geschwindigkeiten, Raten, Preise und Frequenzen –, sodass die Forderung nach Werten größer als null jedem realen Anwendungsfall entspricht.

Wie vergleichen sich die drei Mittel?

Für jede Liste positiver Zahlen, die nicht alle gleich sind, sind die drei pythagoreischen Mittel streng geordnet: arithmetisches Mittel ≥ geometrisches Mittel ≥ harmonisches Mittel. Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind.

Für die Werte 2, 4, 8 beträgt das arithmetische Mittel etwa 4,667, das geometrische Mittel 4 und das harmonische Mittel etwa 3,429 – was AM ≥ GM ≥ HM bestätigt. Dieser Rechner zeigt alle drei an, sodass die Reihenfolge auf einen Blick erkennbar ist. Die Abstände werden größer, je stärker die Daten streuen.

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