Kombinationsrechner — C(n, r)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Definition

Eine Kombination $C(n, r)$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $r$ Elemente aus $n$ verschiedenen Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. $\{A, B\}$ und $\{B, A\}$ sind dieselbe Kombination.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

Diese Zahl heißt auch Binomialkoeffizient und wird "$n$ über $r$" gelesen.

Rechenbeispiel

Wie viele 5-Karten-Hände gibt es aus einem Standarddeck mit 52 Karten?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{.}598{.}960$$

Fast 2,6 Millionen verschiedene Hände aus nur 52 Karten.

Symmetrieeigenschaft

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

3 aus 10 auszuwählen ist äquivalent dazu, 7 zurückzulassen. Wenn $r > n/2$, vereinfacht sich die Berechnung, indem man $C(n, n-r)$ verwendet.

Pascalsches Dreieck

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

Diese Rekursion erzeugt das Pascalsche Dreieck: Jede Zeile $n$ enthält $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

Kombination und Permutation

Szenario	Formel	Begründung
3-köpfiger Ausschuss aus 10 Personen	$C(10, 3)$	Nur die Zusammensetzung zählt
Gold, Silber, Bronze aus 10 Athleten	$P(10, 3)$	Die Medaille hängt vom Rang ab
6 Lottozahlen aus 49	$C(49, 6)$	Nur welche Zahlen, nicht die Reihenfolge
4-stellige PIN ohne Wiederholung	$P(10, 4)$	Die Ziffernfolge bestimmt den Code

Für gleiche $n$ und $r$: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

Typische Anwendungen

• Wahrscheinlichkeitsrechnung: Poker-Hände, Lotto-Gewinnchancen
• Teamzusammenstellung: Spieler für ein Team auswählen
• Stichproben: Qualitätskontrolle, medizinische Studien
• Binomialverteilung: Grundlage für diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle

Hinweise

Sonderfälle. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen, und eine Möglichkeit, alles auszuwählen.

$r > n$ ist nicht definiert. Die Anzahl ausgewählter Elemente darf die Gesamtzahl nicht überschreiten; der Rechner gibt einen Fehler aus.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Kombination?

Eine Kombination C(n, r) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, r Elemente aus n verschiedenen Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. {A, B} und {B, A} sind dieselbe Kombination. Die Formel lautet C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!), auch bekannt als Binomialkoeffizient oder "n über r".

Wann nehme ich Kombinationen statt Permutationen?

Verwenden Sie Kombinationen, wenn nur die gewählte Gruppe zählt und die Reihenfolge irrelevant ist: Ausschusswahl, Lottozahlen, Pizza-Beläge. Verwenden Sie Permutationen, wenn die Reihenfolge das Ergebnis bestimmt: Sitzordnung, Rangfolge, PIN. Für gleiche n und r gilt: C(n, r) = P(n, r) / r!.

Wie lautet die Formel für C(n, r)?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Der Faktor r! im Nenner dividiert alle Anordnungen der r gewählten Elemente heraus, da diese als identische Kombinationen gelten. Beispiel: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. Es gibt 10 Möglichkeiten, 2 aus 5 Elementen zu wählen.