Dreieck berechnen (WSW) — Eine Seite und zwei Winkel

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Ein Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln berechnen (WSW)

Der WSW-Fall (Winkel-Seite-Winkel) liegt vor, wenn eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt sind. Da die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks 180° beträgt, ergibt sich der dritte Winkel durch einfache Subtraktion. Anschließend liefert der Sinussatz alle übrigen Seiten, und der erweiterte Sinussatz gibt direkt den Umkreisradius.

Dritter Winkel

$C = 180° - A - B$

Diese Berechnung erfordert keine Trigonometrie. Sind zwei Winkel bekannt, ist die Form des Dreiecks vollständig bestimmt — die Seitenlänge legt nur den Maßstab fest.

Sinussatz: Unbekannte Seiten

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Mit der bekannten Seite $c$ und dem berechneten Winkel $C$:

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

Rechenbeispiel — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}766}{0{,}940} \approx 6{,}527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}866}{0{,}940} \approx 7{,}378$

Flächenberechnung

Die Fläche lässt sich direkt aus den WSW-Eingaben berechnen, ohne die Seiten vorher zu bestimmen:

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

Diese Formel vermeidet Rundungsfehler aus der Zwischenrechnung.

Umkreisradius aus dem erweiterten Sinussatz

Das gemeinsame Verhältnis im Sinussatz entspricht dem Umkreisdurchmesser:

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

Für das obige Beispiel: $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4{,}257$.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ($C = 90°$, $\sin 90° = 1$) vereinfacht sich die Formel zu $R = c/2$ — der Umkreisradius ist halb so groß wie die Hypotenuse.

Inkreisradius

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

WSW und WWS im Vergleich

Beide Konfigurationen bestimmen ein Dreieck eindeutig:

• WSW: Die bekannte Seite liegt zwischen den beiden Winkeln.
• WWS: Die bekannte Seite liegt nicht zwischen den beiden Winkeln.

Numerisch werden beide Fälle identisch gelöst: $C$ berechnen, dann Sinussatz anwenden. Die Unterscheidung spielt nur bei Kongruenzbeweisen in der Geometrie eine Rolle.

Grenzen des Sinussatzes

Beim SSW-Fall (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel) kann der Sinussatz zwei verschiedene Dreiecke liefern — das sogenannte mehrdeutige Dreieck. Dieser Rechner verwendet ausschließlich die WSW-Bedingung, bei der die bekannte Seite zwischen beiden Winkeln liegt, sodass diese Mehrdeutigkeit nicht auftreten kann.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man ein Dreieck, wenn eine Seite und zwei Winkel bekannt sind?

Zuerst den dritten Winkel bestimmen: C = 180° − A − B. Dann den Sinussatz (a ÷ sin A = c ÷ sin C) anwenden, um die unbekannten Seiten zu berechnen: a = c × sin A ÷ sin C und b = c × sin B ÷ sin C. Beispiel: c = 8, A = 50°, B = 60°: C = 70°, a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6,527, b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7,378.

Was besagt der Sinussatz?

Der Sinussatz lautet: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R, wobei R der Umkreisradius ist. Dieses gemeinsame Verhältnis entspricht dem Durchmesser des Umkreises. Den Sinussatz wendet man an, wenn ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind (WSW oder WWS). Bei zwei bekannten Seiten und einem eingeschlossenen Winkel (SWS oder SSS) verwendet man stattdessen den Kosinussatz.

Wie hängt der Umkreisradius mit dem Sinussatz zusammen?

Der erweiterte Sinussatz liefert direkt R = c ÷ (2 sin C). Der Umkreisradius ist also gleich einer beliebigen Seite geteilt durch das Doppelte des Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Bei einem rechtwinkligen Dreieck (C = 90°) gilt sin 90° = 1, daher R = c ÷ 2 — der Umkreisradius ist halb so groß wie die Hypotenuse. Im WSW-Fall berechnet man R aus der bekannten Seite c und dem berechneten Winkel C.

Was ist der Unterschied zwischen WSW und WWS?

WSW (Winkel-Seite-Winkel) bedeutet, dass die bekannte Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln liegt. WWS (Winkel-Winkel-Seite) bedeutet, dass die bekannte Seite nicht zwischen den beiden Winkeln liegt. Beide Fälle bestimmen das Dreieck eindeutig.

Die Berechnung ist nach Ermittlung des dritten Winkels C = 180° − A − B in beiden Fällen mit dem Sinussatz identisch. Der Unterschied ist bei Kongruenzbeweisen in der Geometrie relevant, hat aber keinen Einfluss auf die numerische Berechnung.