Kartenwahrscheinlichkeit berechnen

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Wahrscheinlichkeit beim Kartenziehen verstehen

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit genau $k$ Elemente eines bestimmten Typs zu erhalten. Beim Kartenziehen verändert jede entnommene Karte die Zusammensetzung des Restdecks — die einzelnen Züge sind daher statistisch nicht unabhängig. Der Rechner wendet diese Verteilung exakt an, für beliebige Kombinationen aus Deckgröße, Anzahl gesuchter Karten, Handgröße und gewünschter Trefferzahl.

Die hypergeometrische Formel

Bei einem Deck mit $N$ Karten, von denen $K$ als Treffer gelten, und $n$ Karten, die ohne Zurücklegen gezogen werden, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer wie folgt:

Jeder Term hat eine direkte kombinatorische Bedeutung:

• $\binom{K}{k}$ — Anzahl der Möglichkeiten, genau $k$ Treffer aus den $K$ vorhandenen auszuwählen
• $\binom{N-K}{n-k}$ — Anzahl der Möglichkeiten, die verbleibenden $n-k$ Plätze mit Nicht-Treffern zu füllen
• $\binom{N}{n}$ — Gesamtzahl der Möglichkeiten, irgendwelche $n$ Karten aus $N$ zu ziehen

Die Formel zählt günstige Blätter und teilt sie durch alle möglichen Blätter.

Rechenbeispiel: Zwei Asse in einem 5-Karten-Pokerblatt

Standardmäßige Pokerverteilung: $N = 52$, $K = 4$ (Asse), $n = 5$, $k = 2$.

Ungefähr 4,0 % aller 5-Karten-Blätter enthalten genau zwei Asse. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Ass liegt mit etwa 34,1 % deutlich höher.

Der Erwartungswert der Asse je Blatt beträgt:

Im Durchschnitt erhält man also knapp ein halbes Ass pro Blatt — tatsächlich zieht man natürlich immer eine ganze Zahl. Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Mittelwert über viele Deals.

Unterschied zwischen P(mindestens k) und P(genau k)

Das Ergebnis P(mindestens k) — $P(X \geq k)$ — summiert die PMF von $k$ bis $\min(n, K)$:

Das ist die Frage, die Spieler in der Praxis häufiger stellen: „Wie hoch ist die Chance, mindestens zwei Herz-Karten zu ziehen?" — und nicht die engere Frage nach genau zwei. Das Verteilungsdiagramm zeigt, wie die Wahrscheinlichkeitsmasse auf alle möglichen Trefferzahlen verteilt ist.

Typische Szenarien beim Kartenziehen

Die letzte Zeile zeigt das Sechsdeck beim Blackjack: Bleibt das Verhältnis $K/N$ konstant (24/312 = 4/52), verändert sich die Wahrscheinlichkeit kaum — der große Nenner dominiert.

Hypergeometrische Verteilung versus Binomialverteilung

Die Binomialverteilung gilt, wenn jeder Versuch unabhängig mit einer festen Trefferwahrscheinlichkeit $p$ stattfindet. Beim Kartenziehen ist das nicht der Fall — jede gezogene Karte verändert $p$ für den nächsten Zug. Bei einem 52-Karten-Deck ist der Unterschied gering, aber vorhanden:

• Binomialapproximation für 1 Ass in 5 Karten: $1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33{,}0\,\%$
• Exakte hypergeometrische Berechnung: $\approx 34{,}1\,\%$

Die Abweichung wächst, wenn die Hand einen großen Anteil des Decks ausmacht. Bei einer 10-Karten-Hand aus einem 20-Karten-Deck liefert die Binomialapproximation spürbar ungenaue Ergebnisse; die hypergeometrische Formel bleibt dagegen exakt.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Deckgröße — Gesamtzahl der Karten vor dem Ziehen. Standarddeck: 52. Skatdeck: 32. Sechsdeck-Schuh: 312. Bereits gespielte Karten abziehen, um Spielsituationen mittendrin zu modellieren.
2. Gesuchte Karten im Deck — Anzahl der Karten, die als Treffer zählen. Asse: 4. Pik-Karten: 13. Rote Könige: 2.
3. Handgröße — Anzahl der Karten, die in einem Zug ausgeteilt werden.
4. Gewünschte Treffer — die genaue Trefferanzahl, die berechnet werden soll. Für Fragen nach einer Mindestanzahl ist P(mindestens k) das passende Ergebnis.

Das Verteilungsdiagramm zeigt die vollständige PMF — wie die Wahrscheinlichkeitsmasse von null Treffern bis zum möglichen Maximum verteilt ist. Der hervorgehobene Balken entspricht dem eingegebenen Wert für Gewünschte Treffer.