Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes — Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-20

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist. Sie schränkt den Stichprobenraum auf alle Ergebnisse ein, bei denen B gilt, und bestimmt den Anteil davon, der auch A enthält. Dieser Rechner nimmt drei Eingaben entgegen — die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A), die Likelihood P(B|A) und die Falsch-positiv-Rate P(B|¬A) — und berechnet daraus die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B) nach dem Satz von Bayes sowie die Verbundwahrscheinlichkeit P(A∩B) und die Gesamtwahrscheinlichkeit P(B).

Der Satz von Bayes — Schritt für Schritt

Der Satz von Bayes verknüpft das Vorwissen mit dem aktualisierten Wissen über drei Rechenschritte:

Schritt 1 — Verbundwahrscheinlichkeit

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass A zutrifft und Befund B auftritt.

Schritt 2 — Gesamtwahrscheinlichkeit von B

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B kann auf zwei Wegen eintreten: wenn A zutrifft (gewichtet mit der A-priori-Wahrscheinlichkeit) und wenn A nicht zutrifft (gewichtet mit der Falsch-positiv-Rate). Die Summe beider Pfade ergibt die Gesamtwahrscheinlichkeit von B.

Schritt 3 — A-posteriori-Wahrscheinlichkeit nach Bayes

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der „B-Ereignisse", die auch A enthalten.

Warum die Formel funktioniert

Die Grundidee ist einfach: Unter allen Situationen, in denen B eintritt, gibt es echte Treffer (A war wahr und hat B verursacht) und Fehlalarme (A war falsch, aber B trat trotzdem auf). Der Satz von Bayes zählt beide Gruppen präzise. Ist die Fehlalarmgruppe groß — weil P(B|¬A) hoch ist oder weil ¬A häufig vorkommt — verdünnt sie die echten Treffer, und die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit sinkt.

Rechenbeispiel: das Diagnostik-Paradoxon

Eine Krankheit betrifft 1 % der Bevölkerung. Ein diagnostischer Test hat eine Sensitivität von 99 % (P(B|A) = 0,99) und eine Falsch-positiv-Rate von 5 % (P(B|¬A) = 0,05). Das Testergebnis fällt positiv aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich erkrankt zu sein?

Schritt 1: P(A∩B) = 0,01 × 0,99 = 0,0099

Schritt 2: P(B) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

Schritt 3: P(A|B) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7 %

Obwohl der Test eine Sensitivität von 99 % hat, bedeutet ein positives Ergebnis nur eine Erkrankungswahrscheinlichkeit von rund einem zu sechs. Die gesunden 99 % der Bevölkerung erzeugen deutlich mehr Fehlalarme (≈ 5 %) als die erkrankten 1 % echte Treffer (≈ 1 %), und die Fehlalarme überwiegen das Signal. Dieses kontraintuitive Ergebnis ist der Grund, warum in der Medizin eine Bestätigungsdiagnostik Standard ist — etwa durch einen Zweittest oder einen anderen Testtyp.

Der Basisraten-Irrtum

Der Basisraten-Irrtum ist der Fehler, das Vorwissen beim Bewerten von Befunden zu ignorieren. Wer im obigen Beispiel nur auf die 99-prozentige Testgenauigkeit schaut und daraus auf eine nahezu sichere Erkrankung schließt, übersieht, dass die Krankheit selten ist. Je seltener das Ereignis, desto stärker drückt die Falsch-positiv-Rate auf die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit — dieser Zusammenhang lässt sich direkt an der Formel ablesen: Mit sinkendem P(A) fällt P(A|B) selbst bei einem hochgenauen Test erheblich.

Unabhängigkeit: wenn ein Befund nichts aussagt

Gilt P(B|A) = P(B|¬A), ist Befund B statistisch unabhängig von A — das Beobachten von B liefert keine Information darüber, ob A eingetreten ist. In diesem Fall entspricht die Gesamtwahrscheinlichkeit P(B) dem gemeinsamen Wert beider Likelihoods, und der Satz von Bayes vereinfacht sich zu P(A|B) = P(A). Bei P(B|A) = P(B|¬A) = 50 % stimmt die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit stets mit dem Vorwissen P(A) überein, unabhängig davon, wie groß P(A) ist.