Ableitung eines Polynoms an einem Punkt

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-26

Definition und Anwendungsbereich

Die Ableitung eines Polynoms an einer bestimmten Stelle gibt an, wie stark sich der Funktionswert an diesem Punkt ändert — also die momentane Änderungsrate. Dieser Rechner wendet die Potenzregel gliedweise auf ein eingegebenes Polynom an und berechnet P(x), P′(x), die Koeffizienten der Ableitung sowie die Tangentengleichung.

Einschränkung: Nur Polynome werden unterstützt, die als kommagetrennte Koeffizientenliste eingegeben werden. Symbolisches Differenzieren von Ausdrücken mit sin, exp, ln oder ähnlichen Funktionen ist nicht möglich.

Die Potenzregel

Für jeden Term aₙxⁿ eines Polynoms gilt:

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

Auf das gesamte Polynom angewendet ergibt sich durch gliedweises Differenzieren:

$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

$P'(x) = n\,a_0\, x^{n-1} + (n-1)\,a_1\, x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

Der konstante Term fällt weg, da $\tfrac{d}{dx}[c] = 0$. Der Grad der Ableitung ist um eins kleiner als der des ursprünglichen Polynoms.

Rechenbeispiel

Gegeben sei P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 (Koeffizienten: 1, -3, 2, 5), ausgewertet an der Stelle x = 2.

Schritt 1 — P(2) mit dem Hornerschema berechnen:

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

Schritt 2 — Ableitung mit der Potenzregel:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Schritt 3 — P′(2) auswerten:

$P'(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Schritt 4 — Tangentengleichung aufstellen:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

Die Tangente berührt die Kurve im Punkt (2, 5) mit der Steigung 2.

Geometrische Bedeutung der Ableitung

P′(x₀) ist die momentane Änderungsrate des Polynoms an der Stelle x₀ — oder gleichbedeutend: die Steigung der Kurve in genau diesem Punkt. Sie entsteht als Grenzwert der Sekantensteigung, wenn das Intervall gegen null schrumpft:

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

Die Tangente ist die beste lineare Näherung der Kurve in der Umgebung von x₀. Für kleine Abweichungen Δx weichen Kurve und Tangente nur um einen Betrag proportional zu (Δx)² voneinander ab — deshalb eignet sich die Tangente als lokales lineares Modell. Das diskrete Gegenstück ist die Sekantensteigung zwischen zwei endlich entfernten Punkten; der Mittlere Änderungsrate berechnen berechnet diesen Wert und nähert sich mit kleiner werdendem Intervall dem Ableitungswert an.

Koeffizienten korrekt eingeben

Wichtig: Fehlende Potenzen müssen durch eine Null vertreten werden. Bei x⁴ − 1 fehlen die Terme x³, x² und x, daher lautet die Eingabe 1, 0, 0, 0, -1.

Ausgabe der Ableitungskoeffizienten

Der Rechner gibt auch die Koeffizienten von P′(x) im selben Format (höchste Potenz zuerst) aus. Für P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{Koeffizienten: } 3, -6, 2$

Diese Koeffizienten lassen sich direkt wieder in das Eingabefeld einfügen, um P″(x) zu berechnen. Alternativ können sie in den Quadratische Gleichung – Löser eingegeben werden, um die Nullstellen von P′(x) — also die kritischen Stellen von P — zu bestimmen.