Quadratische Gleichung – Löser

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-13

Definition

Eine quadratische Gleichung ist eine polynomiale Gleichung zweiten Grades in einer Unbekannten. Die Standardform lautet:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ reelle Koeffizienten. Die Bedingung $a \neq 0$ ist zwingend — andernfalls wäre die Gleichung linear.

Die Lösungsformel

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung erhält man mit der sogenannten Lösungsformel (auch „Mitternachtsformel"):

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Das ± liefert zwei Lösungen:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die Diskriminante

Der Ausdruck $D = b^2 - 4ac$ unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ihr Vorzeichen entscheidet über die Art der Lösungen:

Diskriminante	Art der Lösungen
$D > 0$	zwei verschiedene reelle Lösungen
$D = 0$	eine doppelte reelle Lösung
$D < 0$	zwei konjugiert komplexe Lösungen

Doppelte Lösung (D = 0)

Ist die Diskriminante null, fallen beide Lösungen zusammen:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Dieser Wert entspricht der $x$-Koordinate des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel.

Komplexe Lösungen (D < 0)

Ist die Diskriminante negativ, ist $\sqrt{D}$ im Reellen nicht definiert. Die Lösungen werden komplex:

$x = \alpha \pm \beta i$

mit

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ ist der Realteil, $\beta$ der Imaginärteil. Bei Gleichungen mit reellen Koeffizienten treten komplexe Lösungen stets als konjugierte Paare auf.

Verwendung des Rechners

Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ werden eingegeben — der Rechner berechnet daraus die Diskriminante und die Lösungen.

• Diskriminante $\geq 0$: Die Lösungen $x_1$ und $x_2$ erscheinen im Abschnitt „Reelle Lösungen".
• Diskriminante $< 0$: Realteil $\alpha$ und Imaginärteil $\beta$ erscheinen im Abschnitt „Komplexe Lösungen".

Beispiel: $x^2 - 3x + 2 = 0$

Mit $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

Zusammenhang mit der Parabel

Die Lösungen der Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ sind genau die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel $y = ax^2 + bx + c$ mit der $x$-Achse.

• $D > 0$: Die Parabel schneidet die $x$-Achse in zwei Punkten.
• $D = 0$: Die Parabel berührt die $x$-Achse (Scheitelpunkt liegt auf der Achse).
• $D < 0$: Die Parabel hat keinen reellen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen?

Für ax² + bx + c = 0 lauten die Lösungen x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Das ± liefert zwei Lösungen, üblicherweise x₁ (mit +) und x₂ (mit −). Diese Lösungen sind zugleich die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel y = ax² + bx + c mit der x-Achse.

Was sagt die Diskriminante aus?

Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen. Ist D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D = 0, gibt es genau eine doppelte reelle Lösung (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). Ist D < 0, gibt es zwei konjugiert komplexe Lösungen ohne reelle Lösung.

Was sind die komplexen Lösungen bei D < 0?

Wenn die Diskriminante negativ ist, sind die Lösungen komplex konjugiert: x = α ± βi, wobei α = −b ÷ (2a) der Realteil und β = √(−D) ÷ (2|a|) der Imaginärteil ist. Komplexe Lösungen treten bei Gleichungen mit reellen Koeffizienten stets als konjugierte Paare auf.