Binomialverteilung Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Was ist die Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festgelegten Anzahl unabhängiger Versuche, bei denen jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Typische Anwendungsfälle sind der Münzwurf mit $n$ Würfen, die Qualitätsprüfung einer Produktcharge oder eine Meinungsumfrage — stets unter der Bedingung, dass jeder Versuch genau zwei mögliche Ausgänge hat (Erfolg oder Misserfolg) und die Versuche unabhängig voneinander sind.

Formeln

Für $n$ Versuche, $k$ Erfolge und Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ je Versuch:

Kombinationen (Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Erfolge aus $n$ Versuchen zu wählen):

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Exakte Wahrscheinlichkeit:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Kumulative Wahrscheinlichkeit (höchstens $k$ Erfolge):

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

Mindestens $k$ Erfolge:

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Erwartungswert und Standardabweichung:

\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Rechenbeispiel: Münzwurf

Eine faire Münze ( $p = 0{,}5$ ) wird 10-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für genau 3-mal Kopf ergibt sich zu:

P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0{,}117

Das entspricht etwa 11,7 %. Die kumulative Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Mal Kopf:

P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17{,}2\%

Und mindestens 3 Mal Kopf: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94{,}5\%$ .

Anwendungsbeispiele aus der Praxis

Qualitätskontrolle: Eine Fabrik produziert Schrauben mit einer Ausschussquote von 2 %. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Charge von 50 Stück mehr als 2 defekte Teile zu finden. Mit $n = 50$ , $p = 0{,}02$ ergibt sich $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$ .

Klinische Studie: Ein Medikament zeigt bei 70 % der Patienten Wirkung. In einer Studie mit 20 Patienten ist gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens 15 ansprechen. Mit $n = 20$ , $p = 0{,}7$ ergibt sich $P(X \geq 15)$ .

Meinungsumfrage: In einer Stadt befürworten 40 % der Bevölkerung eine bestimmte Politik. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 12 zufällig ausgewählten Wählern dafür sind. Mit $n = 12$ , $k = 5$ , $p = 0{,}4$ ergibt sich $P(X = 5)$ direkt aus der Binomialwahrscheinlichkeit.

Normalverteilungsapproximation

Bei großem $n$ nähert sich die Binomialverteilung einer Glockenkurve an. Die Approximation $X \approx N(\mu, \sigma^2)$ ist zuverlässig, wenn:

np \geq 5 \quad \text{und} \quad n(1-p) \geq 5

Dabei empfiehlt sich die Stetigkeitskorrektur: $P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Z < k + 0{,}5)$ , wobei $Z$ die Standardnormalverteilung ist.

Bei $n = 10$, $p = 0{,}5$ gilt $np = 5$ — die Approximation ist hier noch grob. Ab $n = 100$ oder größer wird sie sehr gut.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel der Binomialverteilung?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), wobei C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) die Anzahl der Möglichkeiten ist, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen. Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, beim 10-maligen Münzwurf genau 3 Mal Kopf zu erhalten? P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0,1172 (etwa 11,7 %).

Wie berechnet man die kumulierte Binomialwahrscheinlichkeit?

P(X ≤ k) ist die Summe aus P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). Beim 10-maligen Münzwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Mal Kopf: P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,172. Die Gegenwahrscheinlichkeit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) gibt an, wie wahrscheinlich mindestens k Erfolge sind.

Was sind Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung?

Erwartungswert: μ = n × p. Standardabweichung: σ = √(np(1−p)). Bei 10 Versuchen mit p = 0,5 ergibt sich μ = 5 und σ = √2,5 ≈ 1,58. Der Erwartungswert gibt die durchschnittliche Anzahl an Erfolgen an; die Standardabweichung beschreibt, wie stark die tatsächliche Anzahl davon abweicht.

Wann kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern?

Die Normalapproximation ist geeignet, wenn sowohl np ≥ 5 als auch n(1−p) ≥ 5 erfüllt sind. Dann gilt näherungsweise X ≈ N(μ, σ²) mit μ = np und σ² = np(1−p). Mit Stetigkeitskorrektur wird P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Z < k+0,5) berechnet. Für n = 10, p = 0,5 liegt np = 5 genau an der Grenze; für n ≥ 30 ist die Approximation deutlich zuverlässiger.

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