Kreisabschnitt-Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-20

Was ist ein Kreisabschnitt?

Ein Kreisabschnitt ist die Fläche, die von einer Sehne und dem zugehörigen Bogen eingeschlossen wird. Geben Sie Radius und Mittelpunktswinkel ein, und der Rechner liefert alle vier wichtigen Maße: Sehnenlänge, Sagitta (Pfeilhöhe), Bogenlänge und Flächeninhalt.

Kreisabschnitt und Kreissektor

Ein Kreis lässt sich auf verschiedene Weisen unterteilen. Die zwei häufigsten Formen sind:

• Kreissektor (Kreisausschnitt) — das „Tortenstück", das von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt wird. Der Schnitt geht durch den Mittelpunkt.
• Kreisabschnitt — die Fläche zwischen einer einzelnen Sehne und dem darüber liegenden Bogen. Der Schnitt verläuft gerade, ohne den Mittelpunkt zu berühren.

Jede Sehne erzeugt zwei Kreisabschnitte: den Kleinabschnitt (die kleinere Fläche, wenn der Mittelpunktswinkel θ < π) und den Großabschnitt (die größere Fläche). Bei θ = π verläuft die Sehne durch den Mittelpunkt, und beide „Abschnitte" sind gleich große Halbkreise.

Die Sagitta

Die Sagitta — lateinisch für „Pfeil" — ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt der Sehne zum Mittelpunkt des Bogens. Sie entspricht der Höhe des Kreisabschnitts und erinnert in ihrer Form an einen gespannten Bogen mit Pfeil, wovon der Name stammt.

Für Radius r und Mittelpunktswinkel θ (im Bogenmaß) gilt:

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

Bei θ = π (Halbkreis) entspricht die Sagitta dem Radius: Die Sehne ist ein Durchmesser, und der Bogen erreicht den dem Sehnenmittelpunkt gegenüberliegenden Punkt. Bei sehr kleinem θ nähert sich die Sagitta null; bei θ = 2π nähert sie sich 2r (dem vollen Durchmesser).

Formeln

Alle Formeln verwenden θ im Bogenmaß. Der Rechner wandelt Grad- und Gon-Eingaben automatisch um.

Größe	Formel
Sehnenlänge	$c = 2r\sin(\theta/2)$
Sagitta (Pfeilhöhe)	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
Bogenlänge	$l = r\theta$
Flächeninhalt	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

Herleitung der Flächenformel

Der Kreisabschnitt ergibt sich als Differenz aus Kreissektor und dem gleichschenkligen Dreieck, das von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird.

• Kreissektor: $A_\text{Sektor} = \tfrac{1}{2}r^2\theta$
• Dreieck: $A_\text{Dreieck} = \tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (Basis = Sehne = $2r\sin(\theta/2)$, Höhe = $r\cos(\theta/2)$, Produkt = $r^2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = \tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$)
• Kreisabschnitt: $A = A_\text{Sektor} - A_\text{Dreieck} = \tfrac{1}{2}r^2\theta - \tfrac{1}{2}r^2\sin\theta = \mathbf{\tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)}$

Rechenbeispiel

Ein kreisrundes Fenster hat den Radius r = 10 m. Eine waagerechte Sehne schließt einen Mittelpunktswinkel von θ = 90° ein.

Umrechnung ins Bogenmaß: θ = π/2 ≈ 1,5708 rad.

• Sehnenlänge: $c = 2 \times 10 \times \sin(45°) = 20 \times 0{,}7071 \approx \mathbf{14{,}14 \text{ m}}$
• Sagitta: $h = 10 \times (1 - \cos(45°)) = 10 \times 0{,}2929 \approx \mathbf{2{,}93 \text{ m}}$
• Bogenlänge: $l = 10 \times \pi/2 \approx \mathbf{15{,}71 \text{ m}}$
• Flächeninhalt: $A = \tfrac{1}{2} \times 100 \times (\pi/2 - 1) \approx 50 \times 0{,}5708 \approx \mathbf{28{,}54 \text{ m}^2}$

Zum Vergleich: Die vollständige Kreisfläche beträgt π × 100 ≈ 314,16 m². Dieser 90°-Abschnitt macht rund 9,1 % des gesamten Kreises aus.