Umkreis-Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-20

Definition

Der Umkreis eines Dreiecks ist der eindeutig bestimmte Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Radius $R$ heißt Umkreisradius, sein Mittelpunkt Umkreismittelpunkt. Dieser Rechner ermittelt $R$, die Umkreisfläche und den Umkreisumfang, wenn nur die drei Seitenlängen $a$, $b$, $c$ bekannt sind.

Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis – ein Merkmal, das für allgemeine Vierecke nicht gilt. Der Umkreis spielt in der klassischen Geometrie eine zentrale Rolle und taucht in der Trigonometrie und Navigationsrechnung gleichermaßen auf.

Berechnung des Umkreisradius

Die Standardformel verbindet die Heronische Flächenformel mit dem Produkt der Seitenlängen:

Schritt 1 – Halbumfang:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Schritt 2 – Dreiecksfläche (Heronische Formel):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Schritt 3 – Umkreisradius:

$R = \frac{abc}{4S}$

Durchgerechnetes Beispiel – das 5-12-13-Dreieck:

$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$

$S = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$

$R = \frac{5 \times 12 \times 13}{4 \times 30} = \frac{780}{120} = 6{,}5$

Die Umkreisfläche beträgt dann $\pi R^2 \approx 132{,}7$ und der Umkreisumfang $2\pi R \approx 40{,}8$.

Zur Kontrolle: Das 5-12-13-Dreieck ist rechtwinklig ($5^2 + 12^2 = 13^2$), daher muss $R$ genau der halben Hypotenuse entsprechen – also $13/2 = 6{,}5$, was mit dem berechneten Wert übereinstimmt.

Lage des Umkreismittelpunkts

Der Umkreismittelpunkt $O$ ist der Punkt, der von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist. Er liegt im Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten. Seine Lage relativ zum Dreieck hängt vom Dreieckstyp ab:

Dreieckstyp	Lage des Umkreismittelpunkts
Spitzwinklig (alle Winkel < 90°)	Im Inneren des Dreiecks
Rechtwinklig (ein Winkel = 90°)	Auf dem Mittelpunkt der Hypotenuse
Stumpfwinklig (ein Winkel > 90°)	Außerhalb des Dreiecks

Das rechtwinklige Dreieck liefert eine nützliche Probe: Für die Seiten 3, 4, 5 liegt der Umkreismittelpunkt auf dem Mittelpunkt der Hypotenuse 5, sodass $R = 5/2 = 2{,}5$ – was mit der Formel $R = abc/(4S) = 60/24 = 2{,}5$ übereinstimmt.

Zusammenhang mit dem Sinussatz

Der Umkreisradius ist elegant mit den Innenwinkeln verknüpft, und zwar über den erweiterten Sinussatz:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Das bedeutet: $R$ ist die Hälfte des Verhältnisses einer beliebigen Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Hieraus folgt auch das Ergebnis für rechtwinklige Dreiecke: Wenn $C = 90°$, dann $\sin C = 1$, also $2R = c$, d. h. $R = c/2$.

Umkreis und Inkreis im Vergleich

Der Inkreis liegt innerhalb des Dreiecks und berührt alle drei Seiten. Sein Radius $r$ berechnet sich zu:

$r = \frac{S}{s}$

Für beide Radien gilt die Ungleichung $R \geq 2r$: der Umkreisradius ist stets mindestens doppelt so groß wie der Inkreisradius. Das Minimalverhältnis $R/r = 2$ wird nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht. Beim 3-4-5-Dreieck: $R = 2{,}5$, $r = 6/6 = 1$, also $R/r = 2{,}5$ – größer als das Minimum.

Beide Radien hängen von der gleichen Dreiecksfläche $S$ und dem Halbumfang $s$ ab, beschreiben aber verschiedene geometrische Eigenschaften: $R$ erfasst die äußere Ausdehnung des Dreiecks, $r$ den verfügbaren Innenraum.

Dreiecksungleichung

Die Formel liefert nur dann ein reelles Ergebnis, wenn die drei Seiten ein gültiges Dreieck bilden. Die Dreiecksungleichung verlangt:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Ist eine dieser Bedingungen verletzt, existiert kein Dreieck. Zum Beispiel scheitern die Seiten 1, 2 und 10, weil $1 + 2 = 3 < 10$ – die Heronische Formel lieferte dann einen negativen Ausdruck unter der Wurzel, $R$ wäre nicht definiert.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Umkreisradius eines Dreiecks?

Der Umkreisradius R ist der Radius des Umkreises – des eindeutig bestimmten Kreises, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Für ein Dreieck mit den Seiten a, b, c und der Fläche S gilt: R = abc ÷ (4S). Beim rechtwinkligen 3-4-5-Dreieck: S = 6, also R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2,5. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck entspricht R genau der halben Hypotenuse.

Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

Der Umkreismittelpunkt O ist der Punkt, der von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist. Er liegt im Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt er innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken fällt er genau auf den Mittelpunkt der Hypotenuse. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt er außerhalb des Dreiecks, jenseits der längsten Seite.

Was ist der Unterschied zwischen Umkreis und Inkreis?

Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte und hat den Radius R = abc ÷ (4S). Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen und hat den Radius r = S ÷ s, wobei s = (a + b + c) ÷ 2 der Halbumfang ist. Beim 3-4-5-Dreieck gilt R = 2,5 und r = 1. Es gilt stets R ≥ 2r: der Umkreisradius ist mindestens doppelt so groß wie der Inkreisradius. Das Minimum R = 2r wird nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht.

Wie hängt der Umkreisradius mit dem Sinussatz zusammen?

Der erweiterte Sinussatz besagt: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R. Der Umkreisradius ist also die Hälfte des Verhältnisses einer beliebigen Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Beispiel: a = 5, sin A = 0,6 → R = 5 ÷ (2 × 0,6) ≈ 4,167. Daraus folgt unmittelbar, dass beim rechtwinkligen Dreieck (Winkel 90°, sin = 1) gilt R = Hypotenuse ÷ 2.