Kubische Gleichung lösen

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-26

Was ist eine kubische Gleichung?

Eine kubische Gleichung ist eine Polynomgleichung dritten Grades:

Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten besitzt entweder drei reelle Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt) oder eine reelle und zwei konjugiert-komplexe Nullstellen — null reelle Lösungen sind ausgeschlossen, weil eine stetige Funktion, die von $-\infty$ nach $+\infty$ läuft, die Achse zwingend mindestens einmal schneidet.

Überführung in die reduzierte Form

Der erste Schritt zur Lösung besteht darin, den $x^2$-Term zu beseitigen. Die Substitution $x = t - \tfrac{b}{3a}$ überführt die Ausgangsgleichung in die reduzierte kubische Gleichung (auch: deprimierte Form):

Die Koeffizienten $p$ und $q$ hängen ausschließlich von $a$, $b$, $c$ und $d$ ab:

Sind die Nullstellen $t_1, t_2, t_3$ der reduzierten Gleichung bekannt, erhält man die ursprünglichen Lösungen durch $x_k = t_k - \tfrac{b}{3a}$.

Die Diskriminante

Das entscheidende Kriterium für den Lösungstyp ist die Diskriminante:

• $\Delta > 0$: drei verschiedene reelle Nullstellen — trigonometrische Methode.
• $\Delta = 0$: mindestens zwei Nullstellen fallen zusammen (alle reell) — die trigonometrische Methode liefert auch diesen Fall korrekt.
• $\Delta < 0$: eine reelle und zwei konjugiert-komplexe Nullstellen — Cardano-Formel.

Cardano-Formel ($\Delta < 0$)

Wenn $\Delta < 0$, ist die Größe $C = \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27}$ positiv, die folgenden Kubikwurzeln also reell:

Die drei Lösungen der reduzierten Gleichung $t^3 + pt + q = 0$ lauten dann:

Die reelle Nullstelle der ursprünglichen Gleichung ist $x_1 = t_1 - \tfrac{b}{3a}$; das konjugiert-komplexe Paar hat die Form $\alpha \pm \beta i$ mit $\alpha = -\tfrac{u+v}{2} - \tfrac{b}{3a}$ und $\beta = \tfrac{(u-v)\sqrt{3}}{2}$.

Rechenbeispiel. Gesucht sind die Nullstellen von $x^3 + x - 2 = 0$.

Hier ist $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$, $d = -2$, also $p = 1$, $q = -2$ und $\Delta = -112 < 0$.

Probe: $(x-1)(x^2+x+2) = x^3+x-2$ ✓.

Trigonometrische Methode ($\Delta \geq 0$)

Wenn $\Delta \geq 0$, ist $C \leq 0$, und $\sqrt{C}$ wäre imaginär — die Cardano-Formel würde trotz reeller Lösungen über komplexe Zwischenwerte führen. Dieses Phänomen heißt casus irreducibilis (der „unreduzierbare Fall"). Die trigonometrische Methode vermeidet dieses Problem vollständig.

Mit $r = \sqrt{-p/3}$ (reell, da $\Delta \geq 0$ impliziert $p \leq 0$) und $\theta = \tfrac{1}{3}\arccos\!\left(\tfrac{-q}{2r^3}\right)$ ergeben sich die drei Nullstellen zu:

Der Winkelabstand von $\tfrac{2\pi}{3}$ zwischen den Lösungen folgt aus den drei kubischen Einheitswurzeln.

Rechenbeispiel. Gesucht sind die Nullstellen von $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.

Hier ist $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$, $d = -6$. Die reduzierte Form hat $p = -1$, $q = 0$, also $\Delta = 4 > 0$.

Rücksubstitution mit $h = -6/3 = -2$, also $x = t - h = t + 2$: Nullstellen $x_1 = 3$, $x_2 = 2$, $x_3 = 1$.

Probe: $(x-1)(x-2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6$ ✓.

Historischer Hintergrund

Die Lösungsformel für kubische Gleichungen wurde um 1515 von Scipione del Ferro entdeckt und 1545 von Gerolamo Cardano in seinem Werk Ars Magna veröffentlicht. Es war das erste wesentliche algebraische Ergebnis jenseits der quadratischen Lösungsformel und löste eine jahrzehntelange Rivalität aus — Cardano hatte die Formel unter einem Schweigegelöbnis von Niccolò Tartaglia erhalten und sie dennoch publiziert.

Die Entdeckung des casus irreducibilis zwang die Mathematiker des 16. Jahrhunderts erstmals dazu, komplexe Zahlen ernstzunehmen: Selbst wenn das Ergebnis rein reell ist, führt der Cardano-Weg über komplexe Zwischenwerte. Rafael Bombelli zeigte 1572 als Erster systematisch, dass diese komplexen Ausdrücke sich bei der Addition zu reellen Zahlen vereinfachen.

Anwendungsgebiete

Ingenieurwesen — Knicklastberechnungen, Eigenfrequenzen schwingender Systeme und Biegelinien führen häufig auf kubische charakteristische Gleichungen. Pole von Regelkreisen in der Laplace-Ebene sind Nullstellen kubischer (oder quartischer) Polynome in der komplexen Frequenzvariablen $s$.

Computergrafik — Kubische Bézierkurven sind durch kubische Polynome in $t \in [0,1]$ parametrisiert. Den Schnittpunkt einer Bézierkurve mit einer vorgegebenen $y$-Koordinate zu finden erfordert das Lösen einer kubischen Gleichung.

Thermodynamik — Die van-der-Waals-Zustandsgleichung $(P + a/V_m^2)(V_m - b) = RT$ ist kubisch im Molvolumen $V_m$. Die drei Wurzeln entsprechen bei Temperaturen unterhalb des kritischen Punkts den flüssigen, spinodalen und gasförmigen Phasen.

Finanzmathematik — Bestimmte Modelle für exotische Optionen sowie die Berechnung des internen Zinsfußes bei dreijährigen Zahlungsreihen führen auf kubische Gleichungen.