Ellipsen-Rechner: Fläche und Umfang

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Definition

Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve, die durch zwei feste Punkte – die Brennpunkte – definiert wird: Für jeden Punkt auf der Kurve ist die Summe seiner Abstände zu beiden Brennpunkten konstant. Wenn beide Brennpunkte zusammenfallen, wird die Ellipse zum Kreis – ein Kreis ist also ein Sonderfall der Ellipse.

Jede Ellipse hat zwei Symmetrieachsen:

• Große Achse: der längste Durchmesser, der durch beide Brennpunkte verläuft. Die Hälfte davon ist die große Halbachse a.
• Kleine Achse: der kürzeste Durchmesser, senkrecht zur großen Achse. Die Hälfte davon ist die kleine Halbachse b.

Es gilt per Definition a ≥ b > 0.

Flächenformel

Die Fläche einer Ellipse berechnet sich nach:

A = π × a × b

Diese exakte Formel hat Archimedes in seiner Abhandlung Kreismessung mit der Exhaustionsmethode – einem Vorläufer der Integralrechnung – bewiesen. Für a = b = r ergibt sich die Kreisfläche πr².

Beispiel: Ellipse mit a = 6 cm und b = 4 cm:

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm²

Umfang (Näherung)

Für den Umfang einer Ellipse gibt es im Gegensatz zur Fläche keine einfache geschlossene Formel. Der exakte Wert erfordert ein elliptisches Integral, das sich nicht mit elementaren Funktionen ausdrücken lässt.

Dieser Rechner verwendet Ramanujans erste Näherung (1914):

$U \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

Für a = b = r (Kreis):

$U = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (exakt)

Für typische Ellipsen ist der Fehler kleiner als 0,0001 %.

Rechenbeispiel

Ellipse mit a = 6 cm und b = 4 cm:

$U \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19,90...]
≈ π × 10,10
≈ 31,73 cm

Exzentrizität

Die Exzentrizität e gibt an, wie stark die Ellipse von einem Kreis abweicht:

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

Form	Exzentrizität
Kreis	e = 0
Leicht oval	e ≈ 0,1–0,3
Mäßig gestreckt	e ≈ 0,5–0,7
Stark gestreckt	e → 1

Die Exzentrizität liegt stets zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich).

Praxisbeispiele

Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt (Keplersches erstes Gesetz):

Körper	Große Halbachse	Exzentrizität
Erdbahn	149,6 Mio. km	≈ 0,017
Marsbahn	227,9 Mio. km	≈ 0,093
Halleyscher Komet	2.667,9 Mio. km	≈ 0,967

Die Erdbahn ist nahezu kreisförmig (e ≈ 0,017). Die Jahreszeiten entstehen daher durch die Erdachsenneigung, nicht durch unterschiedliche Sonnennähe.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Fläche einer Ellipse?

Die Fläche einer Ellipse berechnet sich nach A = π × a × b, wobei a die große und b die kleine Halbachse ist. Diese exakte Formel geht auf Archimedes zurück. Für a = 6 cm und b = 4 cm gilt: A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm². Für a = b = r ergibt sich die Kreisfläche πr².

Gibt es eine exakte Formel für den Umfang einer Ellipse?

Für den Umfang einer Ellipse existiert keine einfache geschlossene Formel — der genaue Wert erfordert ein elliptisches Integral. In der Praxis wird Ramanujans erste Näherungsformel verwendet: U ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Für a = b (Kreis) liefert sie exakt 2πr. Der Fehler ist für alle Ellipsen kleiner als 0,0001 %.

Was sagt die Exzentrizität über eine Ellipse aus?

Die Exzentrizität e = √(1 − (b/a)²) misst, wie stark eine Ellipse von einem Kreis abweicht. e = 0 entspricht einem Kreis, e nahe 1 einer sehr gestreckten Ellipse. Die Erdumlaufbahn hat e ≈ 0,017 (fast kreisförmig), der Halleysche Komet e ≈ 0,967 (sehr langgezogen).

Was ist der Unterschied zwischen einer Ellipse und einem Oval?

Eine Ellipse ist eine mathematisch präzise Kurve: die Summe der Abstände von jedem Punkt auf der Kurve zu den beiden Brennpunkten ist konstant. „Oval" ist ein umgangssprachlicher Begriff für jede glatte, geschlossene, gerundete Kurve. Eier sind Ovale, aber keine Ellipsen, da sie asymmetrisch sind. Jede Ellipse ist ein Oval, aber nicht jedes Oval ist eine Ellipse.