Gleichseitiges Dreieck Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten und drei Winkel von je 60°. Wegen seiner vollständigen Symmetrie genügt eine einzige Größe – die Seitenlänge – um alle anderen Maße vollständig zu bestimmen.

Höhe

Fällt man von einem Eckpunkt ein Lot auf die gegenüberliegende Seite, wird diese halbiert. Es entstehen zwei kongruente 30-60-90-Dreiecke mit Hypotenuse $a$ und kurzer Kathete $a/2$. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Für $a = 6$: $h = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$

Flächeninhalt

Aus der Grundformel $S = \tfrac{1}{2} \times \text{Grundseite} \times \text{Höhe}$:

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Für $a = 6$: $S = 9\sqrt{3} \approx 15{,}588$

Umkreisradius und Inkreisradius

Umkreisradius $R$ (Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte):

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Inkreisradius $r$ (Radius des einbeschriebenen Kreises, der alle drei Seiten berührt):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

Beim gleichseitigen Dreieck gilt $R = 2r$. Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt fallen in einem einzigen Punkt zusammen.

Seite $a$	Höhe $h$	Fläche $S$	$R$	$r$
1	0,866	0,433	0,577	0,289
6	5,196	15,588	3,464	1,732
10	8,660	43,301	5,774	2,887

Die Verbindung zum 30-60-90-Dreieck

Jedes gleichseitige Dreieck lässt sich durch seine drei Seitenhalbierenden in sechs kongruente 30-60-90-Dreiecke zerlegen. Das Seitenverhältnis $1 : \sqrt{3} : 2$ erklärt, warum $\sqrt{3}$ in allen Formeln des gleichseitigen Dreiecks auftritt.

Begründung für R = 2r

Der Schwerpunkt fällt mit Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt zusammen. Jede Seitenhalbierende hat die Länge $h = a\sqrt{3}/2$; der Schwerpunkt teilt sie im Verhältnis $2:1$ vom Eckpunkt:

• Abstand Schwerpunkt–Eckpunkt: $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• Abstand Schwerpunkt–Seitenmitte: $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• Daher gilt $R = 2r$ ✓

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks?

Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seite a beträgt S = (√3 ÷ 4) × a². Beispiel: a = 6 ergibt S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15,588. Die Formel ergibt sich aus der allgemeinen Formel Grundseite × Höhe ÷ 2, wobei die Höhe h = a√3 ÷ 2 eingesetzt wird.

Wie berechnet man die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks?

Fällt man von einem Eckpunkt ein Lot auf die gegenüberliegende Seite, wird diese halbiert. Es entstehen zwei kongruente 30-60-90-Dreiecke mit Hypotenuse a und kurzer Kathete a/2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: h² = a² − (a/2)² = 3a²/4, also h = a√3 ÷ 2. Für a = 6: h = 3√3 ≈ 5,196.

Was ist der Umkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks?

Der Umkreisradius R (Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte) berechnet sich als R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3. Für a = 6 ergibt sich R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3,464. Dies folgt aus dem erweiterten Sinussatz: R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3.

Warum ist der Umkreisradius doppelt so groß wie der Inkreisradius beim gleichseitigen Dreieck?

Beim gleichseitigen Dreieck gilt R = a√3 ÷ 3 und r = a√3 ÷ 6, woraus R = 2r folgt. Geometrisch fällt beim gleichseitigen Dreieck Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt in einem einzigen Punkt zusammen. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 vom Eckpunkt aus, sodass sein Abstand zum Eckpunkt gleich R und sein Abstand zur Seitenmitte gleich r ist.