Fibonacci-Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Was dieser Rechner berechnet

Der Fibonacci-Rechner ermittelt F(n) – das n-te Glied der Fibonacci-Folge – für jeden Index von 0 bis 70. Nach Eingabe von n werden F(n), F(n−1), das Verhältnis F(n)/F(n−1) (das gegen den goldenen Schnitt konvergiert) sowie die vollständige Folge von F(0) bis F(n) angezeigt.

Definition

Die Fibonacci-Folge beginnt mit 0 und 1; jedes weitere Glied ist die Summe der beiden vorherigen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Formal: F(0) = 0, F(1) = 1 und F(n) = F(n−1) + F(n−2) für n ≥ 2.

Ihren Namen verdankt die Folge Leonardo von Pisa (ca. 1170–1250), bekannt als Fibonacci, der sie 1202 in seinem Werk Liber Abaci nutzte, um das Wachstum einer Kaninchenpopulation zu modellieren. Dieselbe Folge war jedoch in der indischen Mathematik im Kontext der Sanskrit-Metrik bereits Jahrhunderte früher bekannt.

Berechnungsverfahren

Der Rechner verwendet eine iterative Schleife anstelle der rekursiven Definition. Ausgehend von F(0) = 0 und F(1) = 1 wird in jedem Schritt das nächste Glied aus den beiden vorherigen berechnet – nach n − 1 Additionen ist F(n) erreicht. Das Verfahren läuft in O(n) und vermeidet den exponentiellen Aufwand einer naiven Rekursion.

Der höchste unterstützte Index ist n = 70, da F(70) = 190.392.490.709.135 die größte Fibonacci-Zahl ist, die als 64-Bit-Gleitkommazahl (IEEE 754) exakt darstellbar ist. Ab n = 71 übersteigen die Werte die sichere Ganzzahlgrenze 2⁵³, und Rundungsfehler würden das Ergebnis verfälschen.

Rechenbeispiel

Eingabe: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Ergebnis: F(12) = 144, F(11) = 89, Verhältnis = 144/89 ≈ 1,61797753.

Bemerkenswert: 144 = 12² ist eine vollständige Quadratzahl. Neben 0 und 1 ist 144 die einzige weitere Fibonacci-Zahl mit dieser Eigenschaft (Satz von Ljunggren).

Verbindung zum goldenen Schnitt

Mit wachsendem n strebt F(n) / F(n−1) gegen den goldenen Schnitt:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1{,}6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1,66667
10	55	1,61765
20	6.765	1,61803
30	832.040	1,61803399

Ab n = 20 stimmt das Verhältnis auf sechs Dezimalstellen mit φ überein. Der goldene Schnitt taucht in vielen Bereichen auf: im regelmäßigen Fünfeck (Verhältnis von Diagonale zu Seite), in der Architektur (u. a. antike griechische Tempel), in der bildenden Kunst sowie in den Spiralmustern von Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen.

Die Formel von Binet

Die Formel von Binet drückt F(n) direkt aus, ohne Iteration:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

wobei $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}61803$ der goldene Schnitt und $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}61803$ sein Konjugierter ist.

Da |ψ| < 1, geht ψⁿ mit wachsendem n gegen null. Daher gilt für n ≥ 1: F(n) ist die nächste ganze Zahl zu $\varphi^n / \sqrt{5}$. Die Formel ist mathematisch elegant, beruht aber auf Gleitkommarechnung und verliert bei großen n an Präzision – deshalb setzt dieser Rechner auf die iterative Methode.

Fibonacci-Zahlen in Natur und Wissenschaft

Die Folge taucht in vielen Bereichen auf:

• Botanik: Viele Blütenpflanzen haben Blütenblätter in Fibonacci-Zahlen – häufig 3, 5, 8 oder 13. Sonnenblumenköpfe zeigen typischerweise 34 und 55 gegenläufige Spiralreihen.
• Blattstellung (Phyllotaxis): Blätter und Äste wachsen oft in Winkeln, die mit φ zusammenhängen, um die Sonnenlichtausnutzung zu maximieren.
• Informatik: Fibonacci-Heaps, eine Datenstruktur für Graphalgorithmen, tragen ihren Namen aus der Folge. Die naive rekursive Fibonacci-Berechnung veranschaulicht klassisch die exponentielle Zeitkomplexität.
• Technische Analyse: Fibonacci-Retracements (23,6 %, 38,2 %, 61,8 %) – abgeleitet aus Verhältnissen aufeinanderfolgender Glieder – werden im Börsen- und Devisenhandel eingesetzt, wenngleich ihr Vorhersagewert umstritten ist.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Fibonacci-Folge?

Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Formal gilt F(0) = 0, F(1) = 1 und F(n) = F(n−1) + F(n−2) für n ≥ 2.

Benannt ist sie nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa (Fibonacci, ca. 1170–1250), der sie 1202 im Liber Abaci zur Beschreibung des Kaninchenwachstums verwendete. Indische Mathematiker hatten dieselbe Folge jedoch bereits Jahrhunderte früher im Kontext der Sanskrit-Metrik beschrieben.

Was hat die Fibonacci-Folge mit dem goldenen Schnitt zu tun?

Mit wachsendem n nähert sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen F(n) / F(n−1) dem goldenen Schnitt φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887 an. Bei n = 10 beträgt das Verhältnis bereits 1,61765, bei n = 20 stimmt es auf sechs Dezimalstellen überein. Diese Verbindung taucht in der Geometrie (Diagonale zu Seite im regelmäßigen Fünfeck), in der Kunst und in der Natur auf – zum Beispiel in den Spiralmustern von Sonnenblumenkernen.

Was besagt die Formel von Binet?

Die Formel von Binet berechnet F(n) direkt ohne Iteration: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, wobei φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 der goldene Schnitt und ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,61803 sein konjugierter Wert ist. Da |ψ| < 1, strebt ψⁿ gegen null, weshalb F(n) für n ≥ 1 der nächsten ganzen Zahl zu φⁿ / √5 entspricht. Obwohl elegant, beruht die Formel auf Gleitkommarechnung und verliert bei großem n an Genauigkeit – dieser Rechner verwendet daher die Iterationsmethode.

Bis zu welchem n kann der Rechner Fibonacci-Zahlen berechnen?

Der Rechner unterstützt n von 0 bis 70. F(70) = 190.392.490.709.135 ist die größte Fibonacci-Zahl, die in einer 64-Bit-Gleitkommazahl nach IEEE 754 verlustfrei dargestellt werden kann. Ab F(71) übersteigen die Werte die sichere Ganzzahlgrenze 2⁵³ = 9.007.199.254.740.992, weshalb der Rechner bei n = 70 endet.