Gleichschenkliges Dreieck Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Das gleichschenklige Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten – die Schenkel (Länge $a$) – und eine dritte Seite, die Basis (Länge $b$). Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel $\beta$ und sind einander gleich; der Winkel zwischen den beiden Schenkeln ist der Spitzenwinkel $\theta$. Durch diese Symmetrie genügen zwei unabhängige Maße, um das Dreieck vollständig zu bestimmen.

Zwei Eingabemodi

Modus 1 — Schenkel & Basis: Bekannt sind $a$ und $b$.
Modus 2 — Schenkel & Spitzenwinkel: Bekannt sind $a$ und $\theta$.

Beide Modi liefern Höhe, Flächeninhalt, Umfang, Umkreisradius und Inkreisradius.

Modus 1: Aus Schenkel und Basis

Das Lot vom Scheitelpunkt auf die Basis trifft diese genau in der Mitte. Es entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse $a$ und Kathete $\tfrac{b}{2}$.

Höhe: $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Flächeninhalt: $S = \frac{b \cdot h}{2}$

Basiswinkel: Im Teildreieck gilt $\cos\beta = \tfrac{b/2}{a} = \tfrac{b}{2a}$, also: $\beta = \arccos\!\frac{b}{2a}$

Spitzenwinkel: $\theta = 180° - 2\beta$

Rechenbeispiel — $a = 5$, $b = 6$:

$h = \sqrt{25 - 9} = 4, \quad S = \frac{6 \times 4}{2} = 12$

$\beta = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°, \quad \theta = 180° - 106{,}26° = 73{,}74°$

Modus 2: Aus Schenkel und Spitzenwinkel

Gegeben $a$ und $\theta$, wird der Spitzenwinkel halbiert ($\theta/2$ pro Seite).

Basis: $b = 2a\sin\!\frac{\theta}{2}$

Höhe: $h = a\cos\!\frac{\theta}{2}$

Flächeninhalt (SWS-Formel): $S = \frac{1}{2}\,a^2\sin\theta$

Basiswinkel: $\beta = \frac{180° - \theta}{2}$

Rechenbeispiel — $a = 5$, $\theta = 90°$:

$b = 2 \times 5 \times \sin 45° = 10 \times \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$

$h = 5 \times \cos 45° = \tfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54, \quad S = \tfrac{1}{2} \times 25 \times \sin 90° = 12{,}5$

Dies ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (45°-45°-90°).

Umkreis- und Inkreisradius

Umkreisradius: $R = \frac{a^2 b}{4S}$

Inkreisradius (mit Halbumfang $s = (2a + b)/2$): $r = \frac{S}{s}$

Sonderfälle

Konfiguration	Spitzenwinkel θ	Hinweis
Gleichseitig	60°	Alle Seiten gleich
Gleichschenklig-rechtwinklig	90°	Basis $= a\sqrt{2}$
Sehr schmal	→ 0°	Entartet zur Strecke
Sehr flach	→ 180°	Basis → 2a, Höhe → 0

Gilt $a = b$, ist das Dreieck gleichseitig. Für $b \geq 2a$ ist die Dreiecksungleichung verletzt – kein Dreieck möglich.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks?

Fällt man das Lot vom Scheitelpunkt auf die Basis, halbiert es diese aufgrund der Symmetrie genau. Es entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse a und Kathete b/2. Der Satz des Pythagoras liefert h² = a² − (b/2)², also h = √(a² − b²/4). Beispiel: a = 5, b = 6 ergibt h = √(25 − 9) = √16 = 4.

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks aus seinen Seiten?

Nach Berechnung der Höhe h = √(a² − b²/4) gilt S = b × h ÷ 2 = (b ÷ 2) × √(a² − b²/4). Für a = 5, b = 6: h = 4, also S = 6 × 4 ÷ 2 = 12. Kennt man den Spitzenwinkel θ, geht auch die SWS-Formel S = ½ × a² × sin θ.

Wie berechnet man die Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks aus den Seiten?

Der Basiswinkel β ergibt sich aus cos β = (b ÷ 2) ÷ a = b ÷ (2a), also β = arccos(b ÷ (2a)). Der Spitzenwinkel beträgt θ = 180° − 2β. Beispiel: a = 5, b = 6 → β = arccos(0,6) ≈ 53,13°, θ = 180° − 106,26° = 73,74°.

Was ist der Unterschied zwischen einem gleichschenkligen und einem gleichseitigen Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten; ein gleichseitiges hat alle drei Seiten gleich lang. Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichschenklig, aber nicht umgekehrt. Das gleichseitige Dreieck ist der Sonderfall mit Spitzenwinkel 60° und Basis gleich Schenkellänge.