Sinussatz-Rechner — Dreieck lösen (WW-S)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Was dieser Rechner berechnet

Der Sinussatz verknüpft jede Seite eines Dreiecks mit dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Geben Sie zwei Winkel und die einem von ihnen gegenüberliegende Seite (WW-S-Konfiguration) ein, und dieser Rechner ermittelt den dritten Winkel, die beiden unbekannten Seiten, die Fläche und den Umkreisradius.

Der Sinussatz

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegenüberliegenden Winkeln $A$, $B$, $C$ gilt:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Das gemeinsame Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des Umkreises.

WW-S-Dreieck schrittweise lösen

Gegeben: Winkel $A$, Seite $a$ (gegenüber $A$), Winkel $B$

Schritt 1: Dritten Winkel berechnen

$C = 180° - A - B$

Zwei Winkel legen die Form des Dreiecks vollständig fest; die bekannte Seite bestimmt den Maßstab.

Schritt 2: Unbekannte Seiten berechnen

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

Schritt 3: Fläche berechnen

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Schritt 4: Umkreisradius berechnen

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

Rechenbeispiel

Eingabe: $A = 30°$, $a = 10$, $B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19{,}319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14{,}142 \times \sin 105° \approx 68{,}30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

Überprüfung: $b / \sin B = 14{,}142 / \sin 45° = 20 = 2R$ — der Sinussatz ist erfüllt.

Herleitung über den Umkreis

Man zeichnet den Umkreis (Radius $R$) des Dreiecks und legt vom Scheitelpunkt $A$ einen Durchmesser zum gegenüberliegenden Kreispunkt $D$. Da der Winkel $\angle ABD$ als Peripheriewinkel über einem Durchmesser ein rechter Winkel ist (Thales), gilt $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$.

Der Umfangswinkelsatz besagt, dass $\angle ADB = A$ (beide Winkel gehören zum selben Bogen $BC$), also:

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

Dasselbe gilt symmetrisch für $b$ und $c$.

Sinussatz oder Kosinussatz?

Gegebene Größen	Formel
Zwei Winkel + beliebige Seite (WW-S oder W-S-W)	Sinussatz
Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (S-W-S)	Kosinussatz
Alle drei Seiten (S-S-S)	Kosinussatz
Zwei Seiten + nicht eingeschlossener Winkel (S-S-W)	Sinussatz (auf mehrdeutigen Fall achten)

Der mehrdeutige Fall

Der mehrdeutige Fall tritt nur bei der S-S-W-Konfiguration auf. Wenn $a < b \sin A$, existiert kein Dreieck; wenn $b \sin A < a < b$, gibt es zwei Lösungen. Bei WW-S ist $C = 180° − A − B$ eindeutig, sodass kein mehrdeutiger Fall entsteht.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann nutze ich den Sinussatz, wann den Kosinussatz?

Den Sinussatz verwendet man, wenn ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind — also bei WW-S (zwei Winkel + nicht eingeschlossene Seite) oder W-S-W. Den Kosinussatz setzt man ein, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (S-W-S) oder alle drei Seiten (S-S-S) gegeben sind. Kurzformel: Liegt die bekannte Seite direkt gegenüber dem bekannten Winkel, gilt der Sinussatz.

Was ist der mehrdeutige Fall beim Sinussatz?

Der mehrdeutige Fall tritt bei der SSW-Konfiguration auf (zwei Seiten + nicht eingeschlossener Winkel). Wenn Seite a kürzer als die Höhe h = b sin A ist, gibt es kein Dreieck. Ist h < a < b, entstehen zwei verschiedene Dreiecke. Da dieser Rechner WW-S verwendet, ist der dritte Winkel mit C = 180° − A − B eindeutig bestimmt; ein zweiter Lösungsfall ist ausgeschlossen.

Wie hängen Sinussatz und Umkreisradius zusammen?

Der erweiterte Sinussatz besagt: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Das gemeinsame Verhältnis entspricht dem Durchmesser des Umkreises. Damit folgt direkt R = a / (2 sin A). Bei einem rechtwinkligen Dreieck (C = 90°) gilt R = c/2 — der Umkreisradius entspricht der halben Hypotenuse.

Was ist der Unterschied zwischen WW-S und W-S-W?

Bei W-S-W liegt die bekannte Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln. Bei WW-S liegt die bekannte Seite gegenüber einem der Winkel. Beide Fälle bestimmen ein Dreieck eindeutig und werden identisch gelöst: C = 180° − A − B berechnen, dann den Sinussatz anwenden.