Geradengleichung aus zwei Punkten

Zwei Punkte eingeben und Steigung, y-Achsenabschnitt sowie die Geradengleichung in Normalform, Punkt-Steigungsform und allgemeiner Form erhalten.

Eingaben

P_1(x_1,\, y_1)\quad P_2(x_2,\, y_2)

Ergebnisse

ΔxΔyxyP₁P₂
\begin{aligned} m &= \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \dfrac{(11) - (2)}{(4) - (1)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} b &= y_1 - m x_1 \\ &= (2) - (?)(1) \\ &= ? \end{aligned}

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Definition

Eine Gerade in der Koordinatenebene ist durch zwei beliebige ihrer Punkte eindeutig bestimmt. Gegeben P₁ = (x₁, y₁) und P₂ = (x₂, y₂), lässt sich die Gleichung der Geraden in drei verschiedenen Standardformen aufschreiben – jede für andere Anwendungen geeignet.

Die drei Standardformen

Normalform: y = mx + b

Die gebräuchlichste Darstellung. m ist die Steigung (Änderung in y geteilt durch Änderung in x) und b ist der y-Achsenabschnitt.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

b=y1−m⋅x1b = y_1 - m \cdot x_1

Geeignet für: das schnelle Zeichnen einer Geraden (beim Punkt (0, b) beginnen und mit der Steigung weitergehen), das Ablesen von Steigung und Achsenabschnitt auf einen Blick.

Punkt-Steigungsform: y − y₁ = m(x − x₁)

Diese Form verwendet direkt einen der gegebenen Punkte und die Steigung, ohne b vorab berechnen zu müssen.

Geeignet für: Situationen, in denen ein Punkt und die Steigung bekannt sind, oder als Zwischenschritt beim Aufstellen einer Gleichung.

Allgemeine Form: Ax + By = C

Alle Terme auf einer Seite, ohne Brüche (wenn die Koordinaten ganzzahlig sind). Konvention: A ≥ 0.

Geeignet für: lineare Gleichungssysteme (Addition/Subtraktion von Gleichungen), gleichzeitige Bestimmung von x- und y-Achsenabschnitt.

Sonderfälle

Senkrechte Gerade

Wenn x₁ = x₂, liegen die Punkte auf einer senkrechten Geraden. Die Steigung ist undefiniert (Division durch null). Die Gleichung lautet: x = x₁.

Waagerechte Gerade

Wenn y₁ = y₂, ist die Gerade waagerecht. Die Steigung beträgt 0, der y-Achsenabschnitt ist y₁. Alle drei Formen vereinfachen sich zu: y = y₁.

Umrechnung zwischen den Formen

VonNachVorgehen
Punkt-SteigungsformNormalformAusmultiplizieren, nach y auflösen
NormalformAllgemeine Formmx nach links, ggf. mit −1 multiplizieren
Allgemeine FormNormalformNach y auflösen: y = (C − Ax) / B

Ganzzahlige Koeffizienten in der allgemeinen Form

Ist die Steigung m = p/q ein Bruch (p, q teilerfremd), multipliziert man alle Terme von y = mx + b mit q:

qy=px+qb  ⟹  px−qy=−qbqy = px + qb \implies px - qy = -qb

Damit sind A = p, B = −q und C = −qb ganze Zahlen. Dieser Rechner führt diesen Schritt bei ganzzahligen Eingabekoordinaten automatisch durch.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Form der Geradengleichung soll ich verwenden?

Die Normalform (y = mx + b) eignet sich am besten, wenn man die Gerade schnell zeichnen oder die Steigung und den y-Achsenabschnitt auf einen Blick ablesen möchte. Man startet bei (0, b) und geht je eine Einheit nach rechts m Einheiten nach oben.

Die Punkt-Steigungsform (y − y₁ = m(x − x₁)) ist ideal, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind – ohne b erst ausrechnen zu müssen.

Die allgemeine Form (Ax + By = C) wird bei linearen Gleichungssystemen bevorzugt und erleichtert die gleichzeitige Bestimmung beider Achsenabschnitte.

Wie wandle ich die drei Formen ineinander um?

Punkt-Steigungsform → Normalform: Rechte Seite ausmultiplizieren und nach y auflösen: y − y₁ = m(x − x₁) → y = mx + b mit b = y₁ − mx₁. Normalform → allgemeine Form: mx auf die linke Seite bringen, ggf. mit −1 multiplizieren, damit A ≥ 0: y = mx + b → mx − y = −b. Allgemeine Form → Normalform: nach y auflösen: y = (C − Ax) / B.

Was passiert, wenn beide Punkte dieselbe x-Koordinate haben?

Ist x₁ = x₂, liegen beide Punkte auf einer senkrechten Geraden. Die Steigung ist undefiniert, weil der Nenner x₂ − x₁ = 0 wäre (Division durch null). Die Gleichung lautet dann einfach x = x₁. Für x₁ = 0 handelt es sich um die y-Achse selbst.

Wie erhalte ich ganzzahlige Koeffizienten in der allgemeinen Form?

Hat die Steigung die Form m = p/q (p, q teilerfremde ganze Zahlen), multipliziert man y = mx + b komplett mit q: qy = px + qb, umgestellt px − qy = −qb. Die Koeffizienten A = p, B = −q und C = −qb sind dann ganzzahlig. Dieser Rechner führt diesen Schritt bei ganzzahligen Eingabekoordinaten automatisch durch.

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