Lineare Gleichung lösen (ax + b = c)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung in einer Unbekannten lässt sich stets in der Form schreiben:

$$ax + b = c$$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ bekannte Zahlen, $x$ ist die gesuchte Unbekannte. „Linear" bedeutet, dass $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt — keine $x^2$- oder $x^3$-Terme, keine Wurzeln. Es handelt sich um die einfachste Klasse algebraischer Gleichungen und um das Fundament aller höhergradigen Methoden.

Lösungsweg: x isolieren

Um $x$ zu bestimmen, werden beide Seiten der Gleichung so umgeformt, bis $x$ allein steht.

Schritt 1 — $b$ von beiden Seiten subtrahieren (Transposition):

$$ax = c - b$$

Schritt 2 — beide Seiten durch $a$ dividieren (vorausgesetzt $a \neq 0$):

$$x = \frac{c - b}{a}$$

Damit ist die Lösung vollständig bestimmt.

Rechenbeispiel

Gesucht: $5x + 3 = 23$

1. Koeffizienten ablesen: $a = 5$, $b = 3$, $c = 23$.
2. Transposition: $5x = 23 - 3 = 20$.
3. Division durch $a$: $x = 20 / 5 = 4$.
4. Probe: $5 \cdot 4 + 3 = 20 + 3 = 23$ ✓

Vorzeichen

Ist $b$ negativ — etwa $b = -7$ —, so wird das Subtrahieren zu einem Addieren:

$$ax = c - (-7) = c + 7$$

Ist $a$ negativ, wird durch eine negative Zahl dividiert; das Vorzeichen der Lösung ändert sich entsprechend. Die Formel $x = (c - b) / a$ liefert in allen Fällen das korrekte Ergebnis.

Sonderfälle: a = 0

Wenn $a = 0$, entfällt der $x$-Term und die Gleichung vereinfacht sich zu $b = c$:

$b = c$ — unendlich viele Lösungen. Jede reelle Zahl erfüllt die Gleichung, weil $x$ nicht mehr darin vorkommt. Beispiel: $0 \cdot x + 4 = 4$ ist für alle $x \in \mathbb{R}$ wahr.

$b \neq c$ — keine Lösung. Die Gleichung wird zu einer falschen Aussage wie $4 = 7$. Kein Wert von $x$ kann eine falsche Aussage wahr machen.

Anwendungsbeispiele

Lineare Gleichungen begegnen uns ständig:

• Weg-Zeit-Probleme: $s = v \cdot t$ nach $t$ umgestellt: $t = s / v$.
• Temperaturumrechnung: Celsius in Fahrenheit: $F = 1{,}8C + 32$, umgestellt nach $C = (F - 32) / 1{,}8$.
• Gewinnschwelle: Die Verkaufsmenge $x$, bei der Erlös und Kosten gleich sind, ergibt sich aus einer linearen Gleichung.
• Elektrotechnik: Das Ohmsche Gesetz $U = R \cdot I$, umgestellt nach $I = U / R$.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie löst man ax + b = c nach x auf?

Beide Seiten der Gleichung um b vermindern, sodass ax = c − b entsteht. Dann beide Seiten durch a dividieren: x = (c − b) / a. Das funktioniert nur, wenn a ≠ 0. Beispiel: 3x + 4 = 13 ergibt x = (13 − 4) / 3 = 3.

Was passiert, wenn der Koeffizient a gleich null ist?

Ist a = 0, fällt der x-Term weg und die Gleichung reduziert sich auf b = c. Gilt b = c, ist jede reelle Zahl eine Lösung (unendlich viele Lösungen). Gilt b ≠ c, ist die Gleichung ein Widerspruch und hat keine Lösung.

Kann die Lösung negativ oder gebrochen sein?

Ja. Zum Beispiel liefert 2x + 7 = 3 das Ergebnis x = −2 (negative Lösung) und 3x + 1 = 3 gibt x = 2/3 (Bruchlösung). Der Rechner zeigt rationale Ergebnisse mit Nenner bis 1000 automatisch als Bruch an.

Was ist der Unterschied zwischen einer linearen und einer quadratischen Gleichung?

Eine lineare Gleichung (Grad 1) enthält x nur in der ersten Potenz und hat bei a ≠ 0 genau eine Lösung. Eine quadratische Gleichung (Grad 2) enthält x², was bis zu zwei Lösungen ermöglicht. Die lineare Gleichung ist das Fundament jeder höhergradigen Lösungsrechnung.