Logarithmus-Rechner

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Was ist ein Logarithmus?

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: „Auf welche Potenz muss man die Basis erheben, um diese Zahl zu erhalten?" Wenn $b^y = x$ gilt, dann ist $\log_b(x) = y$. Dieser Rechner berechnet alle vier gebräuchlichen Logarithmusformen — beliebige Basis, Basis 10, natürlicher Logarithmus und Basis 2 — und stellt sie nebeneinander dar.

Formeln

Für eine positive Zahl $x$ und eine positive Basis $b \neq 1$:

Beliebige Basis (Basiswechselformel):

$$\log_b(x) = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Dekadischer Logarithmus (Basis 10):

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$$

Natürlicher Logarithmus (Basis e):

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

Dualer Logarithmus (Basis 2):

$$\log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

Antilogarithmus — Überprüfung:

$$b^{\log_b(x)} = x$$

Begriff und Grundlagen

$\log_b(x)$ ist die Umkehrfunktion der Potenzierung. Weil $10^3 = 1000$ gilt, folgt $\log_{10}(1000) = 3$. Die Basis bestimmt die verwendete „Skala":

• Basis 10 — der dekadische Logarithmus. Jede Einheit auf der Logarithmusskala entspricht dem Faktor 10 im Originalwert. Anwendung: Dezibel (Schallpegel), pH-Wert (Säuregehalt), Richterskala (Erdbeben).
• Basis e ≈ 2,71828 — der natürliche Logarithmus (ln). Tritt von Natur aus bei exponentiellem Wachstum, Zinseszins, radioaktivem Zerfall und vielen Ingenieurformeln auf. Die Ableitung von $\ln(x)$ lautet einfach $1/x$.
• Basis 2 — der duale Logarithmus. Jede Einheit bedeutet eine Verdopplung. Anwendung: Informationstheorie (Bits), Informatik (binäre Suche, Baumtiefe), Musik (Oktaven).

Die Basiswechselformel

Wissenschaftliche Taschenrechner haben in der Regel nur zwei Logarithmustasten: log (Basis 10) und ln (Basis e). Für jede andere Basis gilt:

$$\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Beispiel: $\log_5(125)$ berechnen

$$\log_5(125) = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4{,}828}{1{,}609} = 3$$

Probe: $5^3 = 125$ ✓

Anwendungsgebiete

Bereich	Was der Logarithmus misst
Schall (Dezibel)	$dB = 10 \log_{10}(P / P_0)$ — je 10 dB entspricht der 10-fachen Leistung
Chemie (pH-Wert)	$pH = -\log_{10}[\text{H}^+]$ — pH 4 ist 10-mal saurer als pH 5
Erdbeben (Richterskala)	Jede Einheit bedeutet die 10-fache Amplitude der Bodenbewegung
Finanzen	Kontinuierliche Wachstumsrate: $r = \ln(V_f / V_i) / t$
Informatik	$\log_2(n)$ Schritte bei der binären Suche in $n$ Elementen
Musik	Jede Oktave verdoppelt die Frequenz; $\log_2$ zählt Oktaven

log vs. ln — Bedeutungsunterschiede je nach Fachgebiet

Die Schreibweise „log" ist mehrdeutig: Mathematiker meinen damit gewöhnlich $\ln$ (natürlicher Logarithmus), Natur- und Ingenieurwissenschaftler dagegen meist $\log_{10}$ (dekadischer Logarithmus). In Programmiersprachen gibt es ebenfalls Unterschiede: In Python ist math.log(x) gleich $\ln$, während math.log10(x) für $\log_{10}$ steht.

Rechenbeispiel: Schallpegelunterschied

Zwei Lautsprecher haben die Schallintensitäten $I_1 = 0{,}001\ \text{W/m}^2$ und $I_2 = 0{,}000001\ \text{W/m}^2$.

Der Pegelunterschied beträgt:

$$\Delta dB = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$$

Lautsprecher 1 ist 30 dB lauter — das entspricht der 1.000-fachen Schallleistung.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man einen Logarithmus?

Der Logarithmus log_b(x) beantwortet die Frage: „Auf welche Potenz muss man b erheben, um x zu erhalten?" Beispiel: log₁₀(1000) = 3, da 10³ = 1000. Für beliebige Basen nutzt man den Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Mit den Tasten „log" (dekadisch) und „ln" (natürlich) auf dem Taschenrechner lässt sich so jeder Logarithmus bestimmen.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

In den Natur- und Ingenieurwissenschaften bezeichnet „log" ohne Zusatz meist den dekadischen Logarithmus (Basis 10). „ln" steht für den natürlichen Logarithmus mit der Basis e ≈ 2,71828. Beide sind Logarithmen — sie unterscheiden sich nur in der Basis. In der Mathematik hingegen wird „log" oft für den natürlichen Logarithmus verwendet. Dieser Rechner zeigt beide Werte explizit an, um Verwechslungen zu vermeiden.

Was ist die Basiswechselformel?

Die Basiswechselformel ermöglicht es, jeden Logarithmus mit einem handelsüblichen Taschenrechner zu berechnen: log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b). Alle drei Formen liefern dasselbe Ergebnis. Beispiel: log₅(125) = ln(125) / ln(5) ≈ 4,828 / 1,609 = 3 (da 5³ = 125). Dieser Rechner verwendet die Basiswechselformel intern für jede eingegebene Basis.

Wie berechnet man den Logarithmus zur Basis 2?

log₂(x) gibt an, wie oft man 2 mit sich selbst multiplizieren muss, um x zu erhalten. Häufige Werte: log₂(2) = 1, log₂(4) = 2, log₂(8) = 3, log₂(1024) = 10. In der Informatik beschreibt log₂ die Anzahl benötigter Bits — etwa sind für 1024 Adressen genau 10 Bit erforderlich. Berechnung über den Basiswechsel: log₂(x) = ln(x) / ln(2) ≈ ln(x) / 0,6931.