Prozentualen Fehler berechnen

Berechnet den prozentualen Fehler, den absoluten Fehler und den relativen Fehler zwischen einem Messwert und dem wahren (theoretischen) Wert.

Eingaben

Ergebnisse

\begin{aligned} E_{pct} &= \dfrac{|x_{obs} - x_{true}|}{|x_{true}|} \times 100\% \\ &= \dfrac{|(9,8) - (10)|}{|10|} \times 100\% \\ &= ?\% \end{aligned}
\begin{aligned} E_a &= x_{obs} - x_{true} \\ &= (9,8) - (10) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} E_r &= \dfrac{|x_{obs} - x_{true}|}{|x_{true}|} \\ &= \dfrac{|(9,8) - (10)|}{|10|} \\ &= ? \end{aligned}
Messwert (experimenteller Wert) 9,8
Wahrer Wert (theoretischer Wert) 10

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Was ist der Prozentfehler?

Der Prozentfehler gibt an, wie stark ein gemessener (experimenteller) Wert vom wahren (theoretischen) Wert abweicht — ausgedrückt als Prozentzahl. Er wird in Naturwissenschaften, Technik und Qualitätskontrolle eingesetzt, um die Genauigkeit von Messungen zu beurteilen.

Formeln

Der Prozentfehler ist der Betrag der Abweichung, geteilt durch den Betrag des wahren Werts, multipliziert mit 100:

E%=∣xobs−xtrue∣∣xtrue∣×100%E_{\%} = \frac{|x_{\text{obs}} - x_{\text{true}}|}{|x_{\text{true}}|} \times 100\%

Der absolute Fehler (mit Vorzeichen) zeigt die Richtung der Abweichung:

Ea=xobs−xtrueE_a = x_{\text{obs}} - x_{\text{true}}

Der relative Fehler (dimensionslos):

Er=∣xobs−xtrue∣∣xtrue∣E_r = \frac{|x_{\text{obs}} - x_{\text{true}}|}{|x_{\text{true}}|}

Der Prozentfehler ist der relative Fehler multipliziert mit 100.

Rechenbeispiel

Ein Schüler misst die Fallbeschleunigung mit 9,8 m/s², der Literaturwert beträgt 9,81 m/s².

E%=∣9,8−9,81∣∣9,81∣×100%=0,019,81×100%≈0,10%E_{\%} = \frac{|9{,}8 - 9{,}81|}{|9{,}81|} \times 100\% = \frac{0{,}01}{9{,}81} \times 100\% \approx 0{,}10\%

Der absolute Fehler ist $9{,}8 - 9{,}81 = -0{,}01$ m/s² — negativ, der Messwert lag also unter dem wahren Wert.

Anwendung der Fehlerarten

  • Prozentfehler – zum Vergleich von Experimenten auf unterschiedlichen Skalen (z. B. Titration in Chemie vs. Zeitmessung in Physik).
  • Absoluter Fehler – wenn die Einheit wichtig ist und man die Richtung (zu groß/zu klein) wissen möchte.
  • Relativer Fehler – dimensionslose Form, praktisch in verketteten Fehlerberechnungen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für den prozentualen Fehler?

Prozentualer Fehler = |Messwert − wahrer Wert| / |wahrer Wert| × 100 %. Die Betragsstriche stellen sicher, dass das Ergebnis stets nicht-negativ ist. Beispiel: Gravitation gemessen als 9,8 m/s², wahrer Wert 9,81 m/s² — prozentualer Fehler = |9,8 − 9,81| / |9,81| × 100 % = 0,01/9,81 × 100 % ≈ 0,10 %. Die vorzeichenbehaftete Variante (ohne Betrag) entspricht dem absoluten Fehler und kann negativ sein, was eine Unterschätzung anzeigt.

Was ist der Unterschied zwischen absolutem und relativem Fehler?

Absoluter Fehler = Messwert − wahrer Wert. Er hat dieselbe Einheit wie die Messgröße und kann positiv (Überschätzung) oder negativ (Unterschätzung) sein.

Relativer Fehler = |absoluter Fehler| / |wahrer Wert|. Er ist dimensionslos und gibt den Fehler als Bruchteil des wahren Wertes an. Der prozentuale Fehler ist der relative Fehler multipliziert mit 100. Der relative Fehler eignet sich besonders für den Vergleich von Messungen unterschiedlicher Größenordnungen: 1 mm Abweichung bedeutet bei einer 10-mm-Schraube etwas völlig anderes als bei einer 10-m-Brücke.

Kann der prozentuale Fehler negativ sein?

Da diese Berechnung den Betrag der Differenz verwendet, ist der prozentuale Fehler hier stets nicht-negativ. Manche Lehrbücher definieren ihn jedoch ohne Betrag: (Messwert − wahrer Wert) / wahrer Wert × 100 %, was negative Werte ergibt, wenn der Messwert kleiner als der wahre Wert ist (Unterschätzung). Für die Richtung der Abweichung steht das Feld "Absoluter Fehler" zur Verfügung.

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