Kugel-Rechner: Volumen und Oberfläche

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

Definition

Das Kugelvolumen ist der dreidimensionale Rauminhalt eines vollkommen runden geometrischen Körpers, bei dem jeder Oberflächenpunkt den gleichen Abstand — den Radius r — vom Mittelpunkt hat. Der Rechner berechnet aus dem Radius das Volumen, die Oberfläche und den Durchmesser.

Formeln

Für eine Kugel mit Radius r:

Eigenschaft	Formel
Volumen	V = (4/3)πr³
Oberfläche	A = 4πr²
Durchmesser	d = 2r

Herleitung des Faktors (4/3)π

Archimedes bewies um 250 v. Chr., dass eine Kugel genau zwei Drittel des Volumens des umschreibenden Zylinders (Radius r, Höhe 2r) einnimmt. Da das Zylindervolumen 2πr³ beträgt, ergibt sich für die Kugel V = (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

Herleitung der Oberfläche

Die Oberfläche ergibt sich als Ableitung des Volumens nach r: dV/dr = 4πr². Archimedes zeigte außerdem, dass die Kugeloberfläche gleich der Mantelfläche des umschreibenden Zylinders ist — ein Ergebnis, das er auf seinem Grabstein verewigen ließ.

Kubisches Wachstum: Verdopplung des Radius

Da das Volumen mit r³ wächst, verachtfacht sich das Volumen bei doppeltem Radius. Das ist im Alltag oft überraschend:

Faktor Radius	Faktor Volumen	Faktor Oberfläche
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Ein Basketball (r ≈ 12 cm) fasst etwa 8-mal so viel Luft wie ein Tennisball (r ≈ 6 cm), obwohl er nur doppelt so breit erscheint.

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — Fußball

Ein Regelspielball hat einen Umfang von ca. 68,5 cm, also r = 68,5 / (2π) ≈ 10,9 cm.

Volumen: V = (4/3) × π × (0,109)³ ≈ 0,00542 m³ ≈ 5,42 Liter Oberfläche: A = 4 × π × (0,109)² ≈ 0,149 m² ≈ 1490 cm²

Beispiel 2 — Kugeltank

Ein kugelförmiger Wassertank mit Radius 2 m fasst:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33,51 m³ ≈ 33.510 Liter

Die Oberfläche A = 4π × 4 ≈ 50,27 m² gibt an, wie viel Stahl beschichtet werden muss.

Beispiel 3 — Radius aus Volumen

Wenn eine Kugel genau 1 m³ fasst, berechnet sich der Radius wie folgt:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m (etwa 62 cm)

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für das Kugelvolumen?

Das Volumen einer Kugel berechnet sich nach V = (4/3)πr³, wobei r der Radius ist. Für eine Kugel mit r = 5 cm ergibt sich V = (4/3) × π × 125 ≈ 523,6 cm³. Die Formel geht auf Archimedes zurück, der sie durch den Vergleich mit einem Zylinder herleitete.

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

Die Oberfläche einer Kugel beträgt A = 4πr². Für r = 5 cm gilt A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm². Archimedes bewies, dass die Kugeloberfläche gleich der Mantelfläche des umschreibenden Zylinders ist — ein Satz, der auf seinem Grabstein verewigt wurde.

Was passiert mit dem Volumen, wenn der Radius verdoppelt wird?

Da das Volumen mit r³ wächst, wird es bei doppeltem Radius um den Faktor 2³ = 8 größer. Eine Kugel mit r = 10 cm fasst achtmal so viel wie eine mit r = 5 cm. Bei dreifachem Radius wächst das Volumen auf das 27-Fache.

Wie berechnet man den Radius aus dem Volumen einer Kugel?

Durch Umstellen von V = (4/3)πr³ erhält man r = ∛(3V / (4π)). Für V = 1 m³ ergibt sich r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m.