Dreieck Rechner (SSS) — Drei Seiten

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-18

SSS-Dreieck — Berechnung aus drei Seiten

Kennt man alle drei Seitenlängen (SSS-Fall), lassen sich mit dem Kosinussatz sämtliche Winkel, der Flächeninhalt sowie die Radien des Umkreises und des Inkreises vollständig bestimmen.

Der Kosinussatz

Für ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegenüberliegenden Winkeln $A$, $B$, $C$ gilt:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Umgestellt: $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Die Formel wird für $A$ und $B$ angewendet; danach ergibt sich $C = 180° - A - B$.

Rechenbeispiel — das 3-4-5-Dreieck:

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°$

$B = \arccos\!\left(\frac{9 + 25 - 16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$

$C = 180° - 36{,}87° - 53{,}13° = 90°$

Dreiecksungleichung

Nicht jede Kombination dreier Längen bildet ein Dreieck. Es muss stets gelten:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Die Längen 1, 2 und 10 beispielsweise scheitern, weil $1 + 2 = 3 < 10$. Bei Gleichheit (z. B. 1, 2, 3) entsteht ein entartetes Dreieck mit Flächeninhalt null.

Flächeninhalt mit der Heronschen Formel

Ohne Kenntnis der Winkel lässt sich der Flächeninhalt direkt aus den drei Seiten bestimmen. Zunächst wird der Halbumfang berechnet:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Dann liefert die Heron-Formel:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Für das 3-4-5-Dreieck: $s = 6$, $S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6$.

Umkreis- und Inkreisradius

Umkreisradius $R$ (Kreis durch alle drei Eckpunkte):

$R = \frac{abc}{4S}$

Inkreisradius $r$ (einbeschriebener Kreis, tangential zu allen Seiten):

$r = \frac{S}{s}$

Für das 3-4-5-Dreieck: $R = 60/24 = 2{,}5$ und $r = 6/6 = 1$.

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist $R = c/2$ (halbe Hypotenuse) — eine nützliche Probe.

Verbindung zum Satz des Pythagoras

Für $C = 90°$ gilt $\cos 90° = 0$, und der Kosinussatz vereinfacht sich zu:

$c^2 = a^2 + b^2$

Der Satz des Pythagoras ist also ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Bekannte pythagoräische Tripel

Jedes ganzzahlige Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel — etwa (6, 8, 10) als doppeltes (3, 4, 5).