Trigonometrische Funktionen Rechner (sin, cos, tan)

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen – Sinus, Kosinus, Tangens sowie die reziproken Funktionen Kosekans, Sekans und Kotangens – beschreiben die Verhältnisse zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und lassen sich über den Einheitskreis auf beliebige Winkel erweitern. Der Rechner berechnet alle sechs Werte für einen eingegebenen Winkel in Grad oder Radiant; singuläre Winkel wie 90°, an denen Tangens und Sekans nicht definiert sind, werden automatisch erkannt und gekennzeichnet.

Definition über das rechtwinklige Dreieck

Für einen spitzen Winkel θ in einem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Verhältnisse:

Funktion	Name	Verhältnis
sin(θ)	Sinus	Gegenkathete / Hypotenuse
cos(θ)	Kosinus	Ankathete / Hypotenuse
tan(θ)	Tangens	Gegenkathete / Ankathete

Die drei reziproken Funktionen ergeben sich direkt daraus:

• csc(θ) = 1/sin(θ) — Kosekans
• sec(θ) = 1/cos(θ) — Sekans
• cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) — Kotangens

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Für jeden Winkel θ (gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen) liegt der zugehörige Punkt auf dem Kreis bei (cos θ, sin θ). Das bedeutet:

• cos θ ist die x-Koordinate dieses Punktes.
• sin θ ist die y-Koordinate.
• tan θ ist die Steigung der Ursprungsgeraden durch diesen Punkt: sin θ / cos θ.

Da der Radius 1 beträgt, liefert der Satz des Pythagoras unmittelbar die Grundidentität:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Der Einheitskreis erweitert Winkelfunktionen über das rechtwinklige Dreieck hinaus auf beliebige Winkel – auch negative (im Uhrzeigersinn) und Winkel über 360°.

Rechenbeispiel: Dachneigung

Ein Dach überbrückt horizontal 6 m und steigt dabei 1,8 m. Wie groß ist der Neigungswinkel, und welche Funktionswerte ergeben sich?

Schritt 1 – Winkel bestimmen: tan(θ) = 1,8 / 6 = 0,3, also θ = arctan(0,3) ≈ 16,70°

Schritt 2 – Funktionswerte bei 16,70°:

Funktion	Wert	Bedeutung
sin(16,70°)	≈ 0,2873	Pro Meter Dachfläche steigt das Dach 0,287 m
cos(16,70°)	≈ 0,9578	95,8 % der Dachfläche entsprechen der Horizontalprojektion
tan(16,70°)	≈ 0,3000	Steigungsverhältnis (Höhe / Breite)
csc(16,70°)	≈ 3,480	Dachfläche pro Meter Höhe
sec(16,70°)	≈ 1,044	Dachfläche pro Meter Horizontalstrecke
cot(16,70°)	≈ 3,333	Breite pro Meter Höhe

Den Winkel 16,70 in Grad eingeben und die Ergebnisse bestätigen.

Exakte Werte für häufige Winkel

θ (Grad)	θ (Radiant)	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
45°	π/4	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	1
60°	π/3	$\sqrt{3}/2$	1/2	$\sqrt{3}$
90°	π/2	1	0	nicht def.
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	nicht def.

Die Zeilen 30°–45°–60° auswendig zu kennen genügt für die meisten Aufgaben – die übrigen folgen aus Symmetrie und Periodizität.

Periodizität und Symmetrie

Winkelfunktionen wiederholen sich periodisch:

• sin und cos: Periode 360° (2π rad) – gleiche Werte nach jeder vollen Umdrehung.
• tan und cot: Periode 180° (π rad) – wiederholen sich doppelt so schnell.

Wichtige Symmetrieregeln:

• sin(−θ) = −sin(θ) – Sinus ist eine ungerade Funktion.
• cos(−θ) = cos(θ) – Kosinus ist eine gerade Funktion.
• sin(180° − θ) = sin(θ) – Sinus ist symmetrisch um 90°.
• cos(180° − θ) = −cos(θ) – Kosinus wechselt das Vorzeichen bei 90°.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen Grad und Radiant?

Grad teilen den Vollwinkel in 360 gleiche Teile – intuitiv für den Alltag. Radiant misst Winkel über die Bogenlänge: Ein Radiant ist der Winkel, bei dem der Bogen genau so lang ist wie der Radius; ein Vollwinkel entspricht 2π ≈ 6,283 rad. Umrechnung: Grad × π/180 = Radiant, Radiant × 180/π = Grad. Programmiersprachen wie JavaScript, Python und C verwenden intern Radiant für Winkelfunktionen.

Warum ist tan(90°) nicht definiert?

Der Tangens ist als sin(θ)/cos(θ) definiert. Bei genau 90° gilt cos(θ) = 0, sodass keine Division möglich ist – der Tangens wächst ohne Grenze, wenn θ sich von unten an 90° annähert, und kommt von minus unendlich, wenn θ von oben nähert. Das ist eine senkrechte Asymptote. Dasselbe gilt für alle ungeraden Vielfachen von 90° (270°, 450° usw.). Auch der Sekans = 1/cos θ ist an diesen Stellen nicht definiert.

Wie liest man Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Für einen Winkel θ (gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse) liegt der Punkt (cos θ, sin θ) auf dem Kreis. Die x-Koordinate ergibt direkt den Kosinus, die y-Koordinate den Sinus. Der Tangens ist die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt: sin θ / cos θ. Die Identität sin²θ + cos²θ = 1 folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis-Dreieck.

Was bedeuten csc, sec und cot?

Es sind die drei reziproken Winkelfunktionen. Kosekans (csc) = 1/sin, Sekans (sec) = 1/cos, Kotangens (cot) = 1/tan = cos/sin. Sie treten in Integralen, bestimmten Physikformeln und älteren Lehrbüchern auf. Merkhilfe: csc ist der Kehrwert von sin (nicht cos), sec ist der Kehrwert von cos (nicht sin) – das Präfix „Ko-" bezeichnet die Komplementfunktion, nicht den Kehrwert der gleichnamigen Funktion.