Vektorbetrag berechnen

Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Was ist der Betrag eines Vektors?

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge — der geradlinige Abstand vom Ursprung zur Pfeilspitze. Für einen Vektor v = (v₁, v₂, …, vₙ) im n-dimensionalen Raum gilt:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

Dieser Rechner nimmt beliebig viele kommaseparierte Komponenten entgegen (z. B. 3, 4 für 2D oder 1, 2, 3 für 3D) und gibt den Betrag, die Anzahl der Dimensionen sowie den Einheitsvektor in gleicher Richtung aus.

Herleitung der Formel

Die Formel ist der auf n Dimensionen verallgemeinerte Satz des Pythagoras. In der Ebene bildet ein Vektor (a, b) die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b, woraus $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ folgt. Im Raum entspricht ein Vektor (a, b, c) der Raumdiagonalen eines Quaders, also $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Das Prinzip setzt sich in höheren Dimensionen nahtlos fort: Quadrate aller Komponenten addieren und die Wurzel ziehen.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Betrag und Einheitsvektor von v = (3, 4, 12) bestimmen.

Schritt 1 – Quadrate summieren: $3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

Schritt 2 – Wurzel ziehen: $|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

Schritt 3 – Normieren (jeden Wert durch den Betrag teilen): $\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0{,}230769,\ 0{,}307692,\ 0{,}923077)$

Interpretation: Der Vektor (3, 4, 12) hat die Länge 13. Der Einheitsvektor gibt die reine Richtung an: Pro zurückgelegter Längeneinheit legt man 3/13 in x-, 4/13 in y- und 12/13 in z-Richtung zurück.

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor hat den Betrag genau 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der Ausgangsvektor. Er entsteht durch Division jeder Komponente durch den Betrag:

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

Einheitsvektoren werden überall dort verwendet, wo allein die Richtung entscheidend ist:

• Physik: Kraftrichtung, Geschwindigkeitsrichtung, Flächennormalen.
• Computergrafik: Beleuchtungsberechnungen, Kameraausrichtung.
• Maschinelles Lernen: Kosinus-Ähnlichkeit, normierte Merkmalsvektoren.
• Navigation: Richtungsvektor aus einem Ortsunterschied.

Ist der Eingangsvektor der Nullvektor (alle Komponenten null), so ist sein Betrag 0 und kein Einheitsvektor definiert — die Richtung ist unbestimmt.

Weitere Normen

Die euklidische Norm (L²) ist die am häufigsten verwendete, aber es gibt noch weitere:

Norm	Formel	Auch bekannt als	Typische Anwendung
L¹	Σ |vᵢ|	Manhattan-Norm, Taxi-Norm	Sparse-Modelle (LASSO), Stadtgitter-Abstände
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	Euklidische Norm	Geometrie, Physik, Kosinus-Ähnlichkeit
L∞	max |vᵢ|	Tschebyschew-Norm	Schachzug-Abstand, Regelungstechnik

Dieser Rechner berechnet ausschließlich die L²-Norm (euklidische Norm), die in Natur- und Ingenieurwissenschaften standardmäßig als „Länge" oder „Betrag" verstanden wird.

Typische Anwendungsgebiete

• Physik: Geschwindigkeit (Betrag des Geschwindigkeitsvektors) oder Kraft aus Komponentenform bestimmen.
• Computergrafik: Flächennormalen vor Beleuchtungsberechnungen normieren.
• Data Science: Merkmalsvektoren L2-normieren, bevor Kosinus-Ähnlichkeit berechnet wird.
• Robotik: Reichweite eines Endeffektors aus dem Gelenkverschiebungsvektor bestimmen.
• Geodäsie / Navigation: Aus (Δost, Δnord, Δhöhe) eine Gesamtdistanz berechnen.

Hinweise zur Benutzung

• Komponenten durch Kommas trennen: 3, 4 oder 1, 2, 3 oder 0.5, -1.2, 0.8, 2.0.
• Negative Komponenten sind erlaubt — das Quadrieren hebt das Vorzeichen auf.
• Dezimalzahlen werden mit Punkt geschrieben: 1.5, 2.5 ergibt |v| ≈ 2,915476.
• Eine einzelne Komponente (z. B. 5) liefert Betrag 5 und Einheitsvektor (1) — konsistent mit der Formel.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Betrag eines Vektors?

Der Betrag eines Vektors (auch Länge oder euklidische Norm genannt) ist der geradlinige Abstand vom Ursprung zur Spitze des Pfeils. Für einen Vektor v = (v₁, v₂, …, vₙ) gilt: |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²). Diese Formel verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebig viele Dimensionen. Beispiel: Für (3, 4) ergibt sich |v| = √(9 + 16) = 5.

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Man erhält ihn, indem man jede Komponente durch den Betrag teilt: v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|).

Einheitsvektoren werden überall dort eingesetzt, wo nur die Richtung, nicht aber die Länge zählt — etwa als Flächennormalen in der 3D-Grafik, als Kraftrichtungen in der Physik oder als Schrittrichtungen beim Gradientenabstieg im maschinellen Lernen.

Gilt die Betragsformel auch für 3D und höhere Dimensionen?

Ja. Die Formel |v| = √(Σ vᵢ²) gilt für jede Anzahl von Dimensionen. Bei einem 3D-Vektor (a, b, c) ergibt sich √(a² + b² + c²) — die Raumdiagonale eines Quaders. Ab vier Dimensionen lässt sich die Geometrie nicht mehr anschaulich darstellen, aber die Rechnung ist identisch: Quadrate aller Komponenten summieren, dann die Wurzel ziehen. Dieser Rechner nimmt beliebig viele kommaseparierte Werte entgegen.

Was sind die L¹- und L∞-Norm, und wann werden sie verwendet?

Die euklidische Norm (L²) ist die gebräuchlichste, aber es gibt weitere. Die L¹-Norm (Manhattan-Norm) summiert die Absolutwerte: ‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯ Sie entspricht dem Taxi- bzw. Stadtblock-Weg entlang der Koordinatenachsen und wird in der LASSO-Regularisierung eingesetzt.

Die L∞-Norm (Tschebyschew-Norm) nimmt den größten Absolutwert: ‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|). Sie taucht bei Schachzug-Problemen und in der Regelungstechnik auf. In den meisten natur- und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen ist die euklidische Norm gemeint, wenn von „Länge" oder „Betrag" die Rede ist.