Calcolatore del discriminante dell'equazione di secondo grado
Calcola il discriminante D = b²−4ac e la natura delle radici di ax² + bx + c = 0: due reali distinte, una radice doppia o due complesse coniugate.
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Il discriminante
Il discriminante di un'equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 è l'espressione D = b² − 4ac. Permette di stabilire la natura delle radici senza applicare per intero la formula risolutiva. Il solo segno di D basta per classificare le radici: due reali distinte, una doppia o due complesse coniugate. È un concetto fondamentale della matematica delle scuole superiori, presente in quasi tutte le verifiche e negli esami di stato.
Calcolo del discriminante
- Elevare al quadrato il coefficiente centrale: b²
- Moltiplicare i coefficienti estremi per quattro: 4 · a · c
- Sottrarre: D = b² − 4ac
Non servono radici quadrate né frazioni: tre operazioni elementari e il risultato è pronto. Il segno di D determina direttamente il tipo di radici.
Segno del discriminante e natura delle radici
| Discriminante | Natura delle radici | Geometria della parabola |
|---|---|---|
| D > 0 | Due radici reali distinte | Interseca l'asse x in due punti |
| D = 0 | Radice reale doppia | Tangente all'asse x nel vertice |
| D < 0 | Due radici complesse coniugate | Interamente sopra o sotto l'asse x |
Quando D = 0, il vertice della parabola cade esattamente sull'asse x e l'unica radice reale è x = −b / (2a).
Esempi svolti
Esempio 1 — D > 0 (due radici reali distinte)
Equazione: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)
Calcolo: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1
Poiché D = 1 > 0, l'equazione ha due radici reali distinte. Applicando la formula risolutiva si ottiene x₁ = 2 e x₂ = 3, punti in cui la parabola y = x² − 5x + 6 interseca l'asse x.
Esempio 2 — D = 0 (radice doppia)
Equazione: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)
Calcolo: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0
La radice doppia è x = −(−6) / (2 · 1) = 3. L'equazione si fattorizza come (x − 3)² = 0; la parabola è tangente all'asse x nel suo vertice, x = 3.
Esempio 3 — D < 0 (radici complesse)
Equazione: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)
Calcolo: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3
Poiché D = −3 < 0, non esistono radici reali. Le due radici sono i numeri complessi coniugati . Il valore mostrato dal calcolatore corrisponde al modulo della parte immaginaria.
Legame con la formula risolutiva
La formula risolutiva (nota anche come formula quadratica) è:
Il radicando sotto il segno di radice è esattamente il discriminante D. Quando D > 0, la radice √D è reale e positiva, e il ± produce due radici distinte. Quando D = 0, la radice si annulla e rimane una sola radice. Quando D < 0, la radice √D è immaginaria e la formula fornisce due numeri complessi coniugati. Calcolare D prima permette di sapere in quale dei tre casi ci si trova, senza portare a termine l'intero calcolo.
Caso particolare: a = 0
Se a = 0, l'equazione ax² + bx + c = 0 si riduce all'equazione di primo grado bx + c = 0. La formula D = b² − 4ac dà comunque un risultato (b²), ma quel valore non ha il significato del discriminante di un'equazione di secondo grado. Questo calcolatore richiede a ≠ 0 e mostra un messaggio di errore quando a = 0. La soluzione dell'equazione lineare è x = −c / b (per b ≠ 0).
Domande frequenti (FAQ)
A cosa serve il discriminante in un'equazione di secondo grado?
Il discriminante D = b² − 4ac indica la natura delle radici di ax² + bx + c = 0 senza doverle calcolare esplicitamente. Se D > 0, la parabola y = ax² + bx + c interseca l'asse x in due punti distinti. Se D = 0, lo tocca in un unico punto (il vertice). Se D < 0, non lo attraversa e le radici sono numeri complessi. Il discriminante è esattamente il radicando della formula risolutiva, per questo il suo segno determina il tipo di radici.
Cosa significa che il discriminante è negativo?
Un discriminante negativo (D < 0) indica che √D è immaginario: l'equazione non ha radici reali. Le due radici sono numeri complessi coniugati della forma α ± βi, dove α = −b / (2a) e β = √|D| / (2a). Quando i coefficienti a, b e c sono reali, le radici complesse compaiono sempre in coppie coniugate. Geometricamente, la parabola si trova interamente al di sopra o al di sotto dell'asse x.
Come si collega il discriminante alla formula risolutiva?
La formula risolutiva x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) contiene il discriminante D sotto la radice quadrata. Quando D > 0, √D è reale e positivo, e il ± fornisce due radici distinte. Quando D = 0, la radice si annulla e rimane un'unica radice doppia: x = −b / (2a). Quando D < 0, √D è immaginario e la formula produce due complessi coniugati. Il discriminante indica in anticipo in quale dei tre casi ci si trova.
Cosa succede se a è uguale a zero?
Se a = 0, l'equazione ax² + bx + c = 0 si riduce all'equazione lineare bx + c = 0. La formula D = b² − 4ac produce comunque un valore (b²), ma quel numero non ha il significato del discriminante di un'equazione di secondo grado. Questo calcolatore richiede a ≠ 0 e mostra un messaggio di errore se si inserisce a = 0. La soluzione dell'equazione lineare è semplicemente x = −c / b (con b ≠ 0).
Da provare dopo
Risolutore di equazioni di secondo grado
Risolvi ax² + bx + c = 0. Inserisci i tre coefficienti per ottenere il discriminante e le due radici — reali o complesse.