Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Scomposizione in fattori primi

La scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione prima) è la rappresentazione di un intero maggiore di 1 come prodotto di numeri primi. Per esempio:

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

I numeri primi 2, 3 e 5 sono i fattori irriducibili di 360; gli esponenti 3, 2 e 1 indicano quante volte ciascun primo compare nel prodotto.

Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica

Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica garantisce due cose:

1. Esistenza: Ogni intero maggiore di 1 ha almeno una scomposizione in fattori primi.
2. Unicità: Tale scomposizione è unica, a meno dell'ordine dei fattori.

Perché 1 non è primo? Se 1 fosse primo, esisterebbero infinite scomposizioni dello stesso numero (360 = 1 · 2³ · 3² · 5 = 1² · 2³ · 3² · 5, ecc.). Escludere 1 dai numeri primi è proprio ciò che preserva l'unicità.

La divisione di prova passo per passo

Il metodo più diretto è la divisione di prova: si testano tutti gli interi da 2 a $\sqrt{n}$ come possibili divisori.

Esempio con n = 360:

1. Divisibile per 2? Sì: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45. 45 è dispari; il 2 non entra più. Fattore 2³.
2. Divisibile per 3? Sì: 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5. 5 non è divisibile per 3. Fattore 3².
3. Divisibile per 5? Sì: 5 ÷ 5 = 1. Fattore 5¹.
4. Il quoziente è 1 — terminato. Risultato: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Perché basta arrivare a $\sqrt{n}$? Se n ha un fattore primo p > $\sqrt{n}$, allora n/p < $\sqrt{n}$, quindi deve esistere un fattore più piccolo. Se non si trovano divisori fino a $\sqrt{n}$, allora n è esso stesso primo.

L'albero dei fattori

Un albero dei fattori è una rappresentazione visiva: si divide il numero in due fattori qualsiasi e si ripete finché tutti i rami terminano con numeri primi.

         360
        /    \
       8      45
      / \    /  \
     4   2  9    5
    / \    / \
   2   2  3   3

Le foglie danno 2, 2, 2, 3, 3, 5 → 2³ · 3² · 5. Indipendentemente da come si costruisce l'albero, si arriva sempre allo stesso risultato — l'unicità in azione.

Contare i divisori con la scomposizione

Nota la scomposizione, il numero totale di divisori positivi si ottiene con una sola formula:

$\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$

Perché? Ogni divisore di n si forma scegliendo indipendentemente, per ogni primo $p_i$, un esponente tra 0 e $e_i$ — ci sono $(e_i+1)$ scelte per ogni primo, e le scelte si moltiplicano.

Divisori di 360:

$\tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

Il numero 360 ha esattamente 24 divisori positivi.

MCD e mcm tramite la scomposizione

Conoscendo le scomposizioni di due numeri, MCD e mcm si leggono direttamente:

• MCD: prendere l'esponente minimo per ogni numero primo.
• mcm: prendere l'esponente massimo per ogni numero primo.

Esempio: MCD e mcm di 360 e 504

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

Primo	Esp. 360	Esp. 504	min (MCD)	max (mcm)
2	3	3	3	3
3	2	2	2	2
5	1	0	0	1
7	0	1	0	1

$\text{MCD}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 = 72, \qquad \text{mcm}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$

Semplificare le frazioni

Per ridurre $\dfrac{a}{b}$ ai minimi termini, si dividono numeratore e denominatore per $\text{MCD}(a, b)$:

$\frac{360}{504} = \frac{360 \div 72}{504 \div 72} = \frac{5}{7}$

Applicazioni della scomposizione in fattori primi

Settore	Utilizzo
Crittografia (RSA)	La sicurezza si basa sulla difficoltà di fattorizzare il prodotto di due grandi numeri primi
Tabelle hash	Dimensioni prime minimizzano le collisioni
Teoria dei codici	Polinomi generatori dei codici correttori di errori
Musica (intonazione giusta)	Gli intervalli sono rapporti di potenze di 2, 3 e 5

Casi particolari

• n = 2 (il più piccolo primo): La scomposizione è il 2 stesso; esattamente 2 divisori.
• n è primo: Un solo fattore primo; numero di divisori = 2.
• n è potenza di primo (es. 1024 = 2¹⁰): Un unico primo con esponente alto; 11 divisori.
• Numeri altamente composti (360, 720, 1260…): Hanno più divisori di qualsiasi numero più piccolo.

Formule e proprietà

Concetto	Formula
Scomposizione	$n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$
Fattori primi distinti	$\omega(n) = k$
Numero totale di divisori	$\tau(n) = \prod (e_i + 1)$
MCD di due numeri	prodotto con esponenti minimi
mcm di due numeri	prodotto con esponenti massimi
Identità MCD × mcm	$\text{MCD}(a,b) \times \text{mcm}(a,b) = a \times b$

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è la scomposizione in fattori primi?

La scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione prima) consiste nel rappresentare un intero maggiore di 1 come prodotto di numeri primi. Ad esempio, 360 = 2³ · 3² · 5. Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica garantisce che questa rappresentazione è unica (a meno dell'ordine dei fattori).

Perché la scomposizione in fattori primi è unica?

Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 ammette un'unica scomposizione in fattori primi (indipendentemente dall'ordine). Questa unicità è il fondamento della divisibilità, del MCD e del mcm, e costituisce la base matematica della crittografia RSA.

Come si calcola il numero di divisori dalla scomposizione?

Se n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … · pₖ^eₖ, il numero di divisori positivi è τ(n) = (e₁+1)(e₂+1)…(eₖ+1). Per 360 = 2³ · 3² · 5¹: τ(360) = 4 · 3 · 2 = 24, quindi 360 ha esattamente 24 divisori positivi.

Qual è il numero più grande che questo calcolatore può fattorizzare?

Il calcolatore supporta interi fino a 1.000.000.000.000 (10¹², mille miliardi). Utilizza la divisione di prova fino a √n, che richiede al massimo circa un milione di iterazioni — abbastanza veloce da girare nel browser. Per numeri più grandi si ricorre ad algoritmi specializzati come il metodo rho di Pollard o il crivello quadratico.