Ultimo aggiornamento: 2026-06-06

Definizione

Il tronco di piramide è il solido ottenuto rimuovendo la parte apicale di una piramide con un taglio parallelo alla base. Il risultato è un corpo con due basi poligonali parallele — una inferiore di area A₁ e una superiore di area A₂ — collegate da facce laterali trapezoidali, e un'altezza h misurata perpendicolarmente tra le due basi.

A differenza del tronco di cono, le cui basi sono sempre cerchi, il tronco di piramide ammette qualsiasi forma poligonale: quadrata, rettangolare, triangolare, esagonale o qualsiasi altro poligono, a condizione che le due basi siano simili (stessa forma, scala diversa) e allineate parallelamente.

Formula

Il volume del tronco di piramide è dato dalla formula prismatoidale:

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

dove A₁ è l'area della base inferiore, A₂ è l'area della base superiore e h è l'altezza perpendicolare tra le due basi.

I tre termini — A₁, A₂ e √(A₁A₂) — rappresentano rispettivamente l'area della base inferiore, l'area della base superiore e la loro media geometrica, ciascuno ponderato ugualmente da h/3.

Derivazione della formula

La formula deriva dalla costruzione con solidi simili. Si consideri una piramide intera con altezza totale H dalla base e area della base A₁. La piccola piramide rimossa dall'apice ha altezza H − h e area della base A₂. Per la legge di scala dei solidi simili, le aree variano come il quadrato del fattore di scala lineare:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

Risolvendo per H e sostituendo nella differenza di volumi:

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

Eliminando H algebricamente e semplificando, l'espressione si riduce esattamente alla forma a tre termini. La media geometrica √(A₁A₂) compare perché corrisponde all'area della sezione trasversale intermedia a metà altezza della piramide estesa.

Casi limite

Due casi degeneri servono come verifica della formula:

Piramide completa (A₂ = 0): la formula diventa V = A₁·h/3, ovvero la formula standard del volume della piramide. Il termine della media geometrica si annulla.

Prisma (A₁ = A₂ = A): la formula diventa V = (h/3)(A + A + A) = A·h, cioè la formula del volume del prisma. Questo conferma che un tronco con basi uguali equivale a un prisma.

Esempio

Un vaso da giardino in cemento ha una base quadrata inferiore di 30 cm × 30 cm e una base quadrata superiore di 20 cm × 20 cm, con un'altezza di 25 cm.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360.000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1.900 ≈ 15.833 cm³ ≈ 15,8 litri

Il vaso contiene circa 15,8 litri di terriccio — all'incirca il contenuto di un sacchetto da 15 litri di substrato universale.

Inserimento diretto delle aree

Il calcolatore accetta direttamente le aree delle basi anziché le singole misure dei lati. Questo approccio rende la formula valida per qualsiasi forma di base: si inserisce l'area di un tronco esagonale, triangolare o di qualsiasi altro poligono senza necessità di formule separate per ciascuna figura. Per un tronco a base quadrata con lato s, inserire A = s². Per un esagono regolare con lato a, inserire A = (3√3/2)a².

Calcoli correlati

• Calcolatore di Piramide — volume, aree delle facce e apotema di una piramide completa
• Calcolatore di tronco di cono — volume e aree del tronco di cono
• Calcolatore di Parallelepipedo Rettangolare — volume e superficie del parallelepipedo (caso speciale con A₁ = A₂)