Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

L'intervallo di confidenza

Un intervallo di confidenza fornisce un intervallo di valori plausibili per un parametro di popolazione sconosciuto — tipicamente la media — basandosi sui dati di un campione. Inserisca le statistiche del campione e scelga il livello di confidenza per ottenere l'intervallo, il margine di errore e il valore Z.

Formule

Con la media campionaria $\bar{x}$, la deviazione standard $\sigma$, la dimensione del campione $n$ e il valore Z critico $z^*$:

Errore standard:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Margine di errore:

$$ME = z^* \times SE = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Intervallo di confidenza:

$$CI = \bar{x} \pm ME = \left[\bar{x} - z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$

Valori Z critici (distribuzione normale standard):

Livello di confidenza	$z^*$
90%	1,6449
95%	1,9600
99%	2,5758

Interpretazione dell'intervallo di confidenza

L'equivoco più comune: «c'è il 95% di probabilità che la vera media sia all'interno di questo intervallo.» Questo è errato. La media della popolazione $\mu$ è una costante fissa (sconosciuta) — non è una variabile casuale. L'intervallo è l'oggetto casuale.

L'interpretazione corretta: se ripetesse il processo di campionamento molte volte e costruisse un intervallo di confidenza al 95% da ciascun campione, circa il 95% di quegli intervalli conterrebbe la vera media. Il Suo intervallo specifico contiene $\mu$ oppure no — semplicemente non sa quale delle due.

In pratica: un IC al 95% è un intervallo che può comunicare con alto grado di fiducia, sapendo che in media 1 su 20 non coprirà il valore vero.

Quando usare Z invece di t

Questo calcolatore usa la distribuzione Z (normale standard). È appropriata quando:

• La deviazione standard della popolazione $\sigma$ è nota, OPPURE
• La dimensione del campione è grande ($n \geq 30$), così che il Teorema del Limite Centrale garantisce che la distribuzione campionaria è approssimativamente normale

Quando $\sigma$ è sconosciuta e $n < 30$, usi la distribuzione t con $n - 1$ gradi di libertà. La distribuzione t ha code più pesanti, producendo intervalli più ampi (più conservativi). Per $n \geq 30$, la differenza tra Z e t è trascurabile.

Come la dimensione del campione influisce sull'intervallo

Il margine di errore diminuisce all'aumentare di $\sqrt{n}$. Per dimezzare il margine di errore occorre quadruplicare la dimensione del campione — un vincolo fondamentale nella progettazione di indagini statistiche.

Dimensione del campione	ME (95%, σ = 10)
n = 25	±3,92
n = 100	±1,96
n = 400	±0,98
n = 1600	±0,49

Esempio pratico: analisi dei punteggi di un esame

Un insegnante seleziona casualmente 35 compiti da una classe. La media campionaria è di 47,3 punti con una deviazione standard di 11,8.

Errore standard: $SE = 11{,}8 / \sqrt{35} \approx 1{,}994$

Intervallo di confidenza al 95%: $ME = 1{,}96 \times 1{,}994 \approx 3{,}91$

$$CI = [47{,}3 - 3{,}91,\ 47{,}3 + 3{,}91] = [43{,}4,\ 51{,}2]$$

Interpretazione: «Sulla base di questo campione di 35 compiti, stimiamo che la media della classe si trovi tra 43,4 e 51,2 punti, con il 95% di confidenza.»

Confidenza al 99%: L'intervallo si allarga: $ME = 2{,}576 \times 1{,}994 \approx 5{,}14$, risultando in $[42{,}2,\ 52{,}4]$. Maggiore confidenza implica un intervallo più ampio.

Domande frequenti (FAQ)

Cosa significa un intervallo di confidenza al 95 %?

Un intervallo di confidenza al 95 % non significa che la vera media ha il 95 % di probabilità di trovarsi in quell'intervallo. La media della popolazione è un valore fisso: o è contenuta nell'intervallo o non lo è. L'interpretazione corretta è la seguente: se si ripetesse la procedura di campionamento molte volte costruendo ogni volta un intervallo di confidenza, il 95 % di quegli intervalli conterrebbe la vera media della popolazione.

Come si calcola il margine di errore?

Margine di errore = z* × (σ ÷ √n), dove z* è il valore Z critico per il livello di confidenza scelto (1,645 per il 90 %, 1,960 per il 95 %, 2,576 per il 99 %), σ è la deviazione standard e n è la dimensione del campione. Esempio con σ = 11,8 e n = 35 al 95 %: SE = 11,8 ÷ √35 ≈ 1,994; margine di errore = 1,960 × 1,994 ≈ 3,91.

Qual è la differenza tra intervallo di confidenza e intervallo di previsione?

L'intervallo di confidenza stima dove si trova la media della popolazione. L'intervallo di previsione stima dove cadrà una nuova singola osservazione. Gli intervalli di previsione sono sempre più ampi perché tengono conto sia dell'incertezza sulla media sia della variabilità delle osservazioni individuali. Per una distribuzione normale, un intervallo di previsione al 95 % è approssimativamente x̄ ± 2σ.

Quando conviene usare la distribuzione t invece di Z?

Si ricorre alla distribuzione t (valore t anziché valore Z) quando: (1) la deviazione standard della popolazione σ è ignota e viene stimata dal campione, oppure (2) la dimensione del campione è piccola (n < 30) e la normalità della popolazione non è garantita.

Per campioni grandi (n ≥ 30) la distribuzione t si avvicina alla normale e il valore Z costituisce una buona approssimazione. Questo calcolatore usa la distribuzione Z, adatta quando σ è nota o n ≥ 30.