Generato il: 13 giugno 2026 alle ore 18:02

Calcolo volume e superficie dell'ellissoide

Dati di input

Semiasse a	3 cm
Semiasse b	2 cm
Semiasse c	1 cm

Grafico

Matematica

Calcolo volume e superficie dell'ellissoide

Calcola il volume esatto e la superficie approssimata di un ellissoide triassiale dai tre semiassi. Formula (4/3)πabc, approssimazione di Knud Thomsen, sferoidi oblati e prolati.

Semiasse a

Semiasse b

Semiasse c

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Volume

cm³

Dettagli

Superficie (approssimata)

cm²

Volume

\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi a b c \\ &= \tfrac{4}{3}\pi (3\,\text{cm})(2\,\text{cm})(1\,\text{cm}) \\ &= ?\,\text{cm³} \end{aligned}

Superficie (Knud Thomsen)

\begin{aligned} A &\approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p} \\[4pt] &\quad p = 1.6075 \\[4pt] &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}

Ultimo aggiornamento: 2026-06-04

Definizione

Un ellissoide è una superficie chiusa e regolare nello spazio tridimensionale le cui sezioni piane sono tutte ellissi. È definito da tre semiassi — le semilunghezze lungo i tre assi coordinati:

a — semiasse maggiore (asse x)
b — semiasse intermedio (asse y)
c — semiasse minore (asse z, profondità)

Ogni punto della superficie soddisfa l'equazione x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Quando i tre semiassi coincidono (a = b = c = r) l'ellissoide degenera in una sfera.

Esempi fisici e naturali: la Terra è uno sferoide oblato (a ≈ b > c, con il raggio equatoriale di circa 6.378 km e il raggio polare di circa 6.357 km); un pallone da rugby è uno sferoide prolato (a > b ≈ c); nucleo cellulare, globulo rosso, uovo di uccello e serbatoi a pressione di forma ellissoidale sono tutti casi di geometria ellissoidale applicata.

Formule

Proprietà	Formula	Forma chiusa
Volume	V = (4/3)πabc	Esatta
Superficie	A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), p = 1,6075	Approssimata (errore < 1,061 %)

Derivazione del volume

La formula V = (4/3)πabc si ricava integrando le sezioni ellittiche orizzontali. A quota z, la sezione trasversale è un'ellisse con semiassi a·√(1 − z²/c²) e b·√(1 − z²/c²), la cui area è πab(1 − z²/c²). Integrando da z = −c a z = c:

V = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc

Il risultato è la generalizzazione diretta della formula della sfera: sostituendo ciascun raggio r con il corrispondente semiasse si ottiene la formula per l'ellissoide.

Perché la superficie non ha forma chiusa

Per la sfera ogni cerchio di latitudine ha la stessa relazione di curvatura e l'integrale di superficie si riduce a 4πr². Per l'ellissoide la curvatura varia da punto a punto e l'integrale di superficie si esprime tramite integrali ellittici incompleti di primo e secondo tipo — funzioni trascendenti che non ammettono forma chiusa elementare.

Per il caso speciale dello sferoide (due semiassi uguali) l'integrazione si semplifica:

Sferoide oblato (a = b > c): A = 2π(a² + c²/e·arctanh e), dove e = √(1 − c²/a²)
Sferoide prolato (a > b = c): A = 2π(c² + ac/e·arcsin e), dove e = √(1 − c²/a²)

Per l'ellissoide triassiale (a ≠ b ≠ c) è invece necessaria un'approssimazione.

Approssimazione di Knud Thomsen

La più accurata tra le formule semplici per la superficie di un ellissoide triassiale è l'approssimazione di Knud Thomsen (2004):

A \approx 4\pi \left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p}, \quad p = 1{,}6075

L'esponente p = 1,6075 è stato determinato empiricamente per minimizzare l'errore relativo peggiore. Per qualsiasi combinazione di semiassi positivi l'errore massimo è inferiore all'1,061 %, e per la sfera (a = b = c) la formula è esatta — si riduce algebricamente a 4πa².

Casi particolari

Forma	Condizione	Volume	Superficie (esatta)
Sfera	a = b = c	(4/3)πa³	4πa²
Sferoide oblato	a = b > c	(4/3)πa²c	2π(a² + c²/e·arctanh e), e = √(1 − c²/a²)
Sferoide prolato	a > b = c	(4/3)πac²	2π(c² + ac/e·arcsin e), e = √(1 − c²/a²)

Esempio numerico

Un serbatoio di forma ellissoidale ha semiassi a = 40 cm, b = 25 cm, c = 20 cm.

Volume:

V = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{,}40 \times 0{,}25 \times 0{,}20 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{,}020 \approx 0{,}08378\ \text{m}^3 \approx \mathbf{83{,}8\ \text{litri}}

Superficie (Knud Thomsen, p = 1,6075):

0,40^1,6075 ≈ 0,2293; 0,25^1,6075 ≈ 0,1077; 0,20^1,6075 ≈ 0,07523
aᵖbᵖ = 0,02469; aᵖcᵖ = 0,01725; bᵖcᵖ = 0,008102
Somma/3 = 0,01668; elevato a (1/1,6075) ≈ 0,07835

A \approx 4\pi \times 0{,}07835 \approx \mathbf{0{,}985\ \text{m}^2}

Questo valore indica la quantità di lamiera o materiale composito necessaria per rivestire la superficie esterna del serbatoio.

Proprietà di scala

Poiché V = (4/3)πabc, raddoppiare uno solo dei semiassi raddoppia il volume — comportamento diverso dalla sfera, dove raddoppiare il raggio moltiplica V per 8. Raddoppiare contemporaneamente tutti e tre i semiassi moltiplica il volume per 8, coerentemente con un fattore di scala uniforme pari a 2.

Variazione	Fattore di volume
Raddoppia solo a	×2
Raddoppia solo b	×2
Raddoppia tutti e tre	×8
Triplica tutti e tre	×27

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula per il volume di un ellissoide?

Il volume di un ellissoide con semiassi a, b e c è V = (4/3)πabc. Ad esempio, un ellissoide con a = 3 cm, b = 2 cm e c = 1 cm ha volume V = (4/3) × π × 0,03 × 0,02 × 0,01 ≈ 2,513 × 10⁻⁵ m³ ≈ 25,13 cm³. Quando i tre semiassi sono uguali (a = b = c = r), la formula si riduce a quella della sfera: V = (4/3)πr³.

Perché la superficie di un ellissoide è solo approssimata?

La superficie esatta di un ellissoide triassiale generale si esprime tramite integrali ellittici incompleti di primo e secondo tipo — funzioni trascendenti prive di forma chiusa elementare. Si ricorre quindi ad approssimazioni pratiche. La più accurata tra le formule semplici è l'approssimazione di Knud Thomsen: A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), con p = 1,6075. L'errore relativo massimo è inferiore all'1,061 % per qualsiasi combinazione di semiassi. Per la sfera (a = b = c) la formula è esatta.

Qual è la differenza tra sferoide oblato e sferoide prolato?

Uno sferoide è un ellissoide con due semiassi uguali. Lo sferoide oblato (come la Terra o un disco appiattito) ha due semiassi maggiori uguali e uno minore: a = b > c. Lo sferoide prolato (come un pallone da rugby o un uovo) ha due semiassi minori uguali e uno maggiore: a > b = c. In entrambi i casi la superficie si calcola con funzioni elementari, a differenza dell'ellissoide triassiale generale.

Quanto è accurata l'approssimazione di Knud Thomsen?

La formula di Knud Thomsen con esponente p = 1,6075 ha un errore relativo massimo inferiore all'1,061 % per qualsiasi combinazione di semiassi positivi. È esatta per la sfera (a = b = c) e raggiunge il limite dell'1 % solo per rapporti tra gli assi molto estremi. Per la maggior parte delle applicazioni pratiche — ingegneria, design, biologia — l'errore è ben al di sotto dello 0,5 %.