Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Come funziona la probabilità di pescare carte

La distribuzione ipergeometrica è il modello statistico che descrive la probabilità di ottenere esattamente $k$ elementi di interesse quando si estrae un campione senza rimpiazzo da una popolazione finita suddivisa in due gruppi. Nella pescata di carte, ogni carta rimossa modifica la composizione di quelle rimaste, rendendo le estrazioni dipendenti l'una dall'altra — a differenza del lancio di una moneta o di un dado, dove ogni prova è indipendente.

La formula ipergeometrica

Per un mazzo di $N$ carte contenente $K$ carte obiettivo, con $n$ carte pescate senza rimpiazzo, la probabilità di ottenere esattamente $k$ successi è:

Ogni fattore ha un significato combinatorio diretto:

• $\binom{K}{k}$ — modi per scegliere esattamente $k$ carte obiettivo tra le $K$ disponibili
• $\binom{N-K}{n-k}$ — modi per riempire i restanti $n-k$ posti con carte non obiettivo
• $\binom{N}{n}$ — modi totali per distribuire qualsiasi combinazione di $n$ carte da $N$

La formula conta le mani favorevoli e le divide per tutte le mani possibili.

Esempio pratico: due assi in una mano da poker

Distribuzione classica di poker: $N = 52$, $K = 4$ (assi), $n = 5$, $k = 2$.

Circa il 4,0% delle mani da 5 carte contiene esattamente due assi. La probabilità di avere almeno un asso è molto più alta — circa il 34,1%.

Il numero atteso di assi per mano è:

In media si raccoglie poco meno di mezzo asso per mano, ma ovviamente si ottiene sempre un numero intero — il valore atteso descrive la media su molte distribuzioni nel lungo periodo.

Perché «almeno k» è diverso da «esattamente k»

Il risultato P(almeno k) — $P(X \geq k)$ — somma la funzione di massa di probabilità (FMP) da $k$ fino a $\min(n, K)$:

$P(X \geq k)$ risponde alla domanda «almeno $k$ successi?», più utile del più ristretto $P(X = k)$ in molti scenari di gioco. Il grafico di distribuzione mostra come la massa di probabilità si distribuisce tra tutti i possibili conteggi di successi.

Scenari comuni di pescata

La riga della scarpa da blackjack a sei mazzi mostra che quando $K/N$ è costante (24/312 = 4/52) la probabilità cambia di pochissimo — il grande denominatore domina.

Ipergeometrica vs. binomiale

La distribuzione binomiale si applica quando ogni prova è indipendente con probabilità fissa $p$. Le pescate di carte non sono indipendenti — rimuovere una carta cambia $p$ per la pescata successiva. Per un mazzo da 52 carte la differenza è contenuta ma presente:

• Approssimazione binomiale per 1 asso in 5 carte: $1 - (1 - 4/52)^5 \approx 33{,}0\%$
• Valore esatto ipergeometrico: $\approx 34{,}1\%$

Lo scarto cresce quando la mano è una frazione consistente del mazzo. Per una mano da 10 carte su un mazzo da 20 l'approssimazione binomiale diventa notevolmente imprecisa; la formula ipergeometrica rimane esatta.

Come usare questo calcolatore

1. Carte nel mazzo — totale delle carte prima di qualsiasi pescata. Mazzo standard: 52. Scarpa a sei mazzi: 312. Sottrai le carte già distribuite per simulare situazioni a partita in corso.
2. Carte obiettivo nel mazzo — quante carte contano come «successo». Assi: 4. Cuori: 13. Re rossi: 2.
3. Carte in mano — carte pescate in una singola distribuzione.
4. Successi desiderati — il conteggio esatto su cui si vuole calcolare la probabilità. Usa P(almeno k) quando interessa una soglia minima.

Il grafico di distribuzione visualizza la funzione di massa di probabilità completa — come la massa di probabilità si distribuisce da zero successi al massimo possibile. La barra evidenziata corrisponde al valore inserito in Successi desiderati.