Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

La legge dei coseni

La legge dei coseni mette in relazione i tre lati di un triangolo con il coseno di uno dei suoi angoli. Per un triangolo con lati a, b, c e l'angolo C opposto al lato c, la formula è:

c² = a² + b² − 2ab cos C

Questa equazione risolve due problemi classici sui triangoli:

• SAS (Lato-Angolo-Lato): Si conoscono due lati e l'angolo compreso. La legge dei coseni fornisce il terzo lato.

• SSS (Lato-Lato-Lato): Si conoscono tutti e tre i lati. Riarrangiando la formula tre volte si ricavano i tre angoli:

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Come usare questa calcolatrice

Modalità SAS — selezionare «SAS — Trovare il lato c», inserire i lati a e b e l'angolo C tra loro (in gradi). La calcolatrice restituisce il lato c.

Modalità SSS — selezionare «SSS — Trovare gli angoli», inserire i tre lati a, b, c. La calcolatrice restituisce i tre angoli A, B, C in gradi.

Esempio di calcolo: SAS

Un geometra misura due lati di un appezzamento triangolare — 83 m e 112 m — con un angolo di 54° tra loro. Quanto misura il terzo lato?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 8 505
• c ≈ 92,2 m

Esempio di calcolo: SSS

Un giardino triangolare ha i lati di 5 m, 7 m e 6 m. Quali sono gli angoli ai vertici?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

Verifica: 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

Legame con il teorema di Pitagora

Il Calcolatore del teorema di Pitagora (c² = a² + b²) è un caso particolare della legge dei coseni. Quando C = 90°, cos 90° = 0 e il termine 2ab cos C scompare.

Per gli altri angoli:

• C < 90° (acuto): cos C > 0, il termine sottratto accorcia c.
• C > 90° (ottuso): cos C < 0, il termine viene sommato e c è più lungo.

Questa intuizione geometrica deriva direttamente dalla definizione del prodotto scalare, che misura quanto un vettore si proietta su un altro.

Legge dei coseni vs. legge dei seni

Dati disponibili	Formula da usare
Due lati + angolo compreso (SAS)	Legge dei coseni
Tutti e tre i lati (SSS)	Legge dei coseni
Due angoli + un lato (AAS / ASA)	Legge dei seni
Due lati + angolo non compreso (SSA)	Legge dei seni (attenzione al caso ambiguo)

La legge dei seni è più semplice quando si dispone di una coppia lato-angolo opposto. La legge dei coseni non ha casi ambigui ed è preferibile per SAS e SSS.

Disuguaglianza triangolare

Perché tre lunghezze formino un triangolo, ogni lato deve essere inferiore alla somma degli altri due. Se la condizione non è rispettata (es. lati 1, 2 e 10), l'argomento dell'arccoseno cade fuori da [−1, 1] e la calcolatrice mostra un errore. Verifica rapida: ordina i lati in ordine crescente e controlla che la somma dei due minori superi il maggiore.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è il legame tra la legge dei coseni e il teorema di Pitagora?

La legge dei coseni c² = a² + b² − 2ab cos C generalizza il teorema di Pitagora a qualsiasi triangolo. Per C = 90°, cos 90° = 0 e la formula si riduce a c² = a² + b². Per angoli acuti (C < 90°) il termine 2ab cos C è positivo e c è più corto; per angoli ottusi (C > 90°), cos C è negativo e c è più lungo.

Quando usare la legge dei coseni invece della legge dei seni?

Usa la legge dei coseni nei casi SAS (due lati e l'angolo compreso) o SSS (tutti e tre i lati). La legge dei seni è più semplice quando hai già una coppia lato-angolo opposto, ma nel caso SSA può dare due soluzioni (caso ambiguo). La legge dei coseni fornisce sempre una risposta unica.

Cosa posso calcolare in modalità SAS?

Con due lati e l'angolo tra loro si ottiene il terzo lato: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Esempio: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6,245. Con i tre lati noti si può passare alla modalità SSS per trovare gli angoli rimanenti.

Cosa succede se i tre lati non formano un triangolo valido?

La disuguaglianza triangolare richiede che ogni lato sia inferiore alla somma degli altri due. Se la condizione non è soddisfatta (es. lati 1, 2 e 10), l'argomento dell'arccoseno cade fuori da [−1, 1] e la calcolatrice mostra un errore. Verifica rapida: ordina i lati in ordine crescente e controlla che la somma dei due minori superi il maggiore.