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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatore dell’intervallo di confidenza per una proporzione

Dati di input

Numero di successi320
Dimensione del campione500
Livello di confidenza95%

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/confidence-interval-proportion

Matematica

Calcolatore dell’intervallo di confidenza per una proporzione

Calcola l’intervallo di confidenza e il margine di errore di una proporzione campionaria: inserisci i successi e la dimensione del campione, scegli un livello di confidenza del 90%, 95% o 99% e ottieni sia l’intervallo di Wald sia quello di Wilson.

Dati di input

Dati del campione

≥ 1

Risultati

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Stima puntuale e margine

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Intervallo di Wilson

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Passo per passo

\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{320}{500} = ?\%
\begin{aligned} E &= z^{*} \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1 - \hat p)}{n}} \\ &= ? \sqrt{\dfrac{\frac{320}{500}\left(1 - \frac{320}{500}\right)}{500}} \\ &= ?\% \end{aligned}
\text{Lower} = \hat p - E = ?\% - ?\% = ?\%
\text{Upper} = \hat p + E = ?\% + ?\% = ?\%

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Intervallo di confidenza per una proporzione

Quando un sondaggio riporta che il 64% degli intervistati sostiene una misura, quella singola percentuale è solo una stima puntuale da un campione. Un intervallo di confidenza la trasforma in un intervallo di valori plausibili per la proporzione reale della popolazione, insieme a un livello di confidenza dichiarato. Combina la proporzione campionaria con un margine di errore che riflette quanto la stima può variare da un campione all’altro.

Formule

Con xx successi in un campione di dimensione nn, la proporzione campionaria è:

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

Errore standard:

SE=p^ (1−p^)nSE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Margine di errore:

E=z∗×SE=z∗p^ (1−p^)nE = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Intervallo di confidenza di Wald:

p^±E=[p^−E, p^+E]\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]

Valori z critici (distribuzione normale standard):

Livello di confidenzaz∗z^{*}
90%1,6449
95%1,9600
99%2,5758

Wald contro Wilson

L’intervallo di Wald qui sopra è la formula della maggior parte dei manuali introduttivi: simmetrica attorno a p^\hat{p} e facile da calcolare. Il suo punto debole è dipendere dall’approssimazione normale della binomiale, che salta quando il campione è piccolo o la proporzione è vicina a 0 o 1. In quei casi l’intervallo di Wald è troppo stretto, la sua copertura scende sotto il livello dichiarato e può persino produrre limiti sotto lo 0% o sopra il 100%.

L’intervallo di Wilson corregge questo problema invertendo il test score anziché assumere la simmetria:

p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}

I limiti di Wilson restano sempre tra 0 e 100%, l’intervallo è asimmetrico e la sua copertura resta vicina al livello obiettivo anche con nn piccolo. Oggi molti statistici considerano Wilson l’opzione predefinita; questo calcolatore presenta entrambi per il confronto affiancato.

Quando è valida l’approssimazione normale?

Una regola pratica diffusa è fidarsi dell’intervallo di Wald solo quando valgono contemporaneamente

np^≥5en(1−p^)≥5n\hat{p} \geq 5 \quad \text{e} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5

(alcuni testi richiedono 10). Con pochissimi successi, una proporzione vicina a 0 o 1 o un campione piccolo, passa all’intervallo di Wilson o a un intervallo esatto di Clopper-Pearson.

Interpretazione

Un intervallo di confidenza al 95% non significa che ci sia una probabilità del 95% che la proporzione reale ricada in un dato intervallo. La proporzione reale della popolazione è una costante fissa e ignota: l’oggetto casuale è l’intervallo, perché è costruito a partire da un campione casuale.

Il significato preciso è un’affermazione sulla procedura: se lo stesso campionamento e la stessa costruzione dell’intervallo fossero ripetuti molte volte, circa il 95% degli intervalli ottenuti conterrebbe la proporzione reale. Un singolo intervallo la contiene oppure no.

Sondaggi e margine di errore

La copertura mediatica di un sondaggio cita di solito un unico «margine di errore, ±3 punti percentuali». Questo numero è esattamente E=z∗p^(1−p^)/nE = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} al 95% di confidenza. Poiché p^(1−p^)\hat{p}(1-\hat{p}) è massimo per p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, gli istituti citano spesso il margine per p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, così un unico numero copre in modo prudente tutte le domande.

Il margine di errore diminuisce con n\sqrt{n}: dimezzarlo richiede di quadruplicare la dimensione del campione.

Dimensione del campioneMargine di errore (95%, p^=0,5\hat{p} = 0{,}5)
n = 100±9,8
n = 400±4,9
n = 1000±3,1
n = 1600±2,5

Esempio svolto: sondaggio di consenso

Un sondaggio su 500 elettori trova 320 favorevoli a una proposta.

Proporzione campionaria: p^=320/500=0,64\hat{p} = 320 / 500 = 0{,}64

Errore standard: SE=0,64×0,36/500≈0,0215SE = \sqrt{0{,}64 \times 0{,}36 / 500} \approx 0{,}0215

Margine di errore al 95%: E=1,96×0,0215≈0,0421E = 1{,}96 \times 0{,}0215 \approx 0{,}0421

Intervallo di Wald:

0,64±0,0421=[0,5979, 0,6821]=[59,79 %, 68,21 %]0{,}64 \pm 0{,}0421 = [0{,}5979,\ 0{,}6821] = [59{,}79\,\%,\ 68{,}21\,\%]

L’intervallo di Wilson per gli stessi dati è [59,70 %, 68,09 %][59{,}70\,\%,\ 68{,}09\,\%]: qui quasi identico perché n=500n = 500 è grande e p^=0,64\hat{p} = 0{,}64 è lontana dagli estremi. I due intervalli divergono di più quando il campione è piccolo o la proporzione è vicina a 0 o 1.

Interpretazione: «Sulla base di questo campione di 500, stimiamo che tra circa il 60% e il 68% di tutti gli elettori sostenga la proposta, con il 95% di confidenza.»

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la differenza tra l’intervallo di Wald e quello di Wilson?

L’intervallo di Wald (p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)) è la formula dei manuali: semplice, simmetrica attorno a p̂ e rapida da calcolare. Funziona bene con campioni grandi e p̂ vicina a 0,5, ma si comporta male con campioni piccoli o proporzioni prossime a 0 o 1, e può persino produrre limiti inferiori a 0% o superiori a 100%. L’intervallo di Wilson risolve lo stesso problema invertendo il test score: resta sempre tra 0 e 100%, è asimmetrico e mantiene la copertura vicina al livello dichiarato anche con n piccolo. Oggi molti statistici raccomandano Wilson come impostazione predefinita. Questo calcolatore mostra entrambi per il confronto.

Come si collega al «margine di errore» di un sondaggio?

Quando un sondaggio riporta «52% di consensi, margine di errore ±3 punti percentuali», quel ±3 è esattamente il margine di errore E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) al 95% di confidenza. Poiché p̂(1−p̂) è massimo per p̂ = 0,5, gli istituti citano di solito il margine per p̂ = 0,5, così un unico numero copre in modo prudente tutte le domande del sondaggio. Inserisci la percentuale riportata come successi sulla dimensione del campione per riprodurre l’intervallo.

Quando è valida l’approssimazione normale?

L’intervallo di Wald si basa sull’approssimazione normale della binomiale, ragionevole quando sia n·p̂ sia n·(1 − p̂) sono almeno 5 (alcuni testi usano 10). Con pochi successi o una proporzione vicina a 0 o 1 l’approssimazione salta e l’intervallo di Wald diventa inaffidabile: è proprio la situazione in cui conviene usare l’intervallo di Wilson (o un intervallo esatto di Clopper-Pearson).

Come devo interpretare l’intervallo ottenuto?

Un intervallo di confidenza al 95% da 59,79% a 68,21% non significa che ci sia una probabilità del 95% che la proporzione reale cada in quell’intervallo: la proporzione reale è fissa. Significa che la procedura che ha prodotto questo intervallo cattura la proporzione reale il 95% delle volte ripetendo il campionamento. In pratica: puoi essere ragionevolmente sicuro che la proporzione reale rientri nei limiti indicati, e un intervallo più ampio segnala un campione più piccolo o un livello di confidenza più esigente.

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