Ultimo aggiornamento: 2026-06-23

Test del chi quadrato di bontà di adattamento

Il test del chi quadrato di bontà di adattamento risponde a una sola domanda: un insieme di frequenze osservate per categoria corrisponde alle frequenze previste da un'ipotesi? È lo strumento di riferimento per confrontare un campione categoriale con una distribuzione teorica — verificare se un dado è equo, se gli incroci genetici seguono un rapporto 9:3:3:1 o se i colori in un sacchetto di caramelle compaiono nelle proporzioni dichiarate. Si inseriscono le frequenze effettivamente registrate in ciascuna categoria e quelle attese sotto l'ipotesi nulla, e il test restituisce una statistica, i suoi gradi di libertà e un valore p.

La statistica

Il test riassume lo scarto tra osservazione e previsione con la statistica di Pearson

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

dove $O_i$ è la frequenza osservata nella categoria $i$, $E_i$ è la frequenza attesa e $k$ è il numero di categorie. Ciascun termine misura quanto una categoria si sia allontanata dalla propria previsione. Lo scarto viene elevato al quadrato affinché eccessi e carenze contino entrambi come prova contro l'ipotesi anziché annullarsi a vicenda, e affinché gli scostamenti assoluti maggiori pesino di più. La divisione per $E_i$ normalizza ogni scarto quadratico: una differenza di dieci unità è una discrepanza seria quando se ne attendevano solo cinque, ma trascurabile quando se ne attendevano cinquemila, e dividere per la frequenza attesa pone ogni categoria su una scala confrontabile. Sommando su tutte le categorie si ottiene un unico numero che cresce man mano che i dati si allontanano dall'ipotesi. Quando le frequenze osservate coincidono esattamente con quelle attese, ogni termine è nullo e $\chi^2 = 0$.

Gradi di libertà e valore p

La statistica viene confrontata con una distribuzione chi quadrato la cui forma è fissata dai suoi gradi di libertà. Per un test di bontà di adattamento semplice,

$\text{df} = k - 1$

Si spende un grado di libertà perché le frequenze per categoria devono sommare a un totale noto: una volta fissate le prime k − 1 frequenze, l'ultima è determinata, quindi solo k − 1 di esse sono libere di variare. (Se la distribuzione attesa è a sua volta stimata dai dati con parametri aggiuntivi, si sottrae un ulteriore grado di libertà per ciascun parametro stimato.)

Il valore p è la probabilità nella coda superiore — la probabilità di osservare una statistica grande almeno quanto quella ottenuta se l'ipotesi nulla fosse vera. La bontà di adattamento è per sua natura un test unilaterale, sulla coda superiore: solo valori grandi di $\chi^2$ segnalano uno scarso adattamento, mentre valori piccoli indicano che i dati restano vicini alla previsione. Il valore p si confronta con un livello di significatività $\alpha$ (comunemente il cinque per cento). Quando $p < \alpha$, la discrepanza è maggiore di quanto la variabilità campionaria possa ragionevolmente spiegare, e si rifiuta l'ipotesi che i dati seguano la distribuzione attesa. Quando $p \ge \alpha$, i dati sono coerenti con l'ipotesi — il che non equivale a dimostrarla vera.

Esempio svolto

Si supponga che un negozio si attenda dalle sue tre casse un flusso di clienti suddiviso in proporzione 40:40:20 su 100 clienti, e che in un pomeriggio ne registri 50, 30 e 20. Le frequenze attese sono 40, 40 e 20. Allora

Con tre categorie il test ha due gradi di libertà. Il valore p nella coda superiore per $\chi^2 = 5$ con due gradi di libertà è circa $0.082 \approx p$. Poiché $p \gt 0.05$, la suddivisione osservata è coerente con la distribuzione attesa 40:40:20 al livello del 5%: l'apparente squilibrio tra le prime due casse rientra nella normale variabilità campionaria.

Ipotesi

L'approssimazione chi quadrato si fonda su alcune condizioni. Le frequenze attese dovrebbero essere ragionevolmente grandi — una regola pratica diffusa richiede che ogni frequenza attesa sia almeno 5; quando diverse sono più piccole, conviene accorpare le categorie poco numerose o ricorrere a un test esatto. Le osservazioni devono essere indipendenti e ogni unità deve ricadere in esattamente una categoria. Inoltre il test opera su frequenze grezze, non su percentuali o proporzioni: se un'ipotesi è espressa come proporzioni, occorre moltiplicare ciascuna per la dimensione totale del campione per ottenere le frequenze attese prima di eseguire il test, verificando che la loro somma coincida con il totale delle frequenze osservate.

Per confrontare le medie di due gruppi anziché frequenze categoriali, si veda il Calcolatore del test t a due campioni (Welch); per trasformare una statistica z in una probabilità di coda, si veda Calcolatore del valore p dal punteggio Z.