Generato il: 13 giugno 2026 alle ore 18:02

Calcolatore del Prodotto Scalare

Dati di input

Vettore a (componenti separate da virgola)1, 2, 3
Vettore b (componenti separate da virgola)4, 5, 6

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/dot-product

Matematica

Calcolatore del Prodotto Scalare

Calcola il prodotto scalare di due vettori n-dimensionali, il coseno e il valore in gradi dell'angolo compreso, e verifica l'ortogonalità. Inserisci le componenti come valori separati da virgola.

Dati di input

Vettore a

Vettore b

Risultati

Inserisci un valore per visualizzare i risultati.

Dettagli

orthogonal_yes

Derivazione passo per passo

\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{? \times ?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \theta &= \arccos(\cos\theta) \\ &= \arccos(?) \\ &= ?° \end{aligned}

Incorpora questa calcolatrice

Anteprima

Incolla questo codice nella tua pagina per mostrare la calcolatrice.

Condividi questo calcolo

Chiunque apra questo link vedrà i tuoi valori già inseriti.

Condividi tramite

XFacebookLINE E-mail

Definizione

Il prodotto scalare (detto anche prodotto interno o prodotto punto) è un'operazione che associa a due vettori di uguale dimensione un unico numero reale. Dati a = (a₁, a₂, …, aₙ) e b = (b₁, b₂, …, bₙ), il prodotto scalare è definito come:

a⋅b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

Il risultato è uno scalare (un numero), non un vettore — da qui il nome. Questa definizione algebrica è immediata da calcolare componente per componente, ma il prodotto scalare ammette anche un'interpretazione geometrica che ne rivela il significato fisico.

Interpretazione geometrica

Il prodotto scalare collega l'algebra alla geometria attraverso l'angolo θ compreso tra i due vettori:

a⋅b=∣a∣ ∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta

dove |a| e |b| sono i moduli (lunghezze) dei vettori. Invertendo la relazione si ottiene la formula per l'angolo:

θ=arccos⁡ ⁣(a⋅b∣a∣ ∣b∣)\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right)

Il segno del prodotto scalare indica immediatamente la reciproca orientazione dei due vettori:

  • Positivo (θ < 90°): i vettori formano un angolo acuto e hanno una componente nella stessa direzione.
  • Nullo (θ = 90°): i vettori sono perpendicolari (ortogonali).
  • Negativo (θ > 90°): i vettori formano un angolo ottuso e hanno componenti in direzioni opposte.

Esempio di calcolo

Si considerino a = (2, 3, −1) e b = (4, −1, 2).

Passo 1 — prodotto scalare:

a⋅b=(2)(4)+(3)(−1)+(−1)(2)=8−3−2=3\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (3)(-1) + (-1)(2) = 8 - 3 - 2 = 3

Passo 2 — moduli:

∣a∣=4+9+1=14≈3,7417|\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3{,}7417 ∣b∣=16+1+4=21≈4,5826|\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \approx 4{,}5826

Passo 3 — angolo:

cos⁡θ=314 21=3294≈0,1750θ=arccos⁡(0,1750)≈79,92°\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{294}} \approx 0{,}1750 \qquad \theta = \arccos(0{,}1750) \approx 79{,}92°

I due vettori sono quasi perpendicolari ma non del tutto: condividono una piccola componente nella stessa direzione.

Ortogonalità

Due vettori si dicono ortogonali quando il loro prodotto scalare è esattamente zero, condizione equivalente alla perpendicolarità indipendentemente dalla dimensione dello spazio. I vettori della base canonica (1, 0, 0) e (0, 1, 0) sono ortogonali; lo sono anche (3, 4) e (−4, 3) nel piano. L'ortogonalità è un concetto fondamentale nell'analisi dei segnali (componenti di Fourier), nella meccanica quantistica (stati sovrapposti) e nell'apprendimento automatico (variabili indipendenti).

Proiezione vettoriale

Una delle applicazioni più dirette del prodotto scalare è il calcolo delle proiezioni. La proiezione scalare di a su b — la lunghezza della componente di a lungo la direzione di b — è:

projba=a⋅b∣b∣\text{proj}_{\mathbf{b}} a = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

La corrispondente proiezione vettoriale — il vettore nella direzione di b con tale lunghezza — è:

projba=a⋅b∣b∣2 b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

Con a = (5, 3) e b = (1, 0): la proiezione scalare è 5 e la proiezione vettoriale è (5, 0), ossia la componente orizzontale di a.

Applicazioni

Il prodotto scalare ricorre in numerosi ambiti scientifici e ingegneristici.

  • Lavoro in fisica: W = F · d, dove il lavoro è uguale al prodotto scalare tra forza e spostamento.
  • Illuminazione nella grafica 3D: la luminosità di una superficie è proporzionale al prodotto scalare tra la normale alla superficie e la direzione della sorgente luminosa.
  • Similarità del coseno nell'elaborazione del testo e nei sistemi di raccomandazione: misura quanto due documenti o vettori di preferenza siano allineati.
  • Regressione ai minimi quadrati: le equazioni normali minimizzano ‖Ax − b‖ imponendo che il prodotto scalare dei residui con ciascun vettore base sia zero.
  • Ortogonalizzazione di Gram–Schmidt: proiezioni successive consentono di costruire una base ortogonale a partire da un insieme arbitrario di vettori.

Relazione con il prodotto vettoriale

Per vettori tridimensionali, il prodotto scalare a · b = |a| |b| cos θ cattura la componente di allineamento, mentre il prodotto vettoriale a × b ha modulo |a| |b| sin θ e cattura la componente di perpendicolarità (l'area del parallelogramma generato dai due vettori). Insieme, i due prodotti caratterizzano la relazione completa tra due vettori nello spazio tridimensionale.

Domande frequenti (FAQ)

Qual è il significato geometrico del prodotto scalare?

Il prodotto scalare a · b = |a| |b| cos θ misura in che misura due vettori sono orientati nella stessa direzione. Quando θ = 0° (vettori paralleli e concordi), il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli — il suo valore massimo. Quando θ = 90° (vettori perpendicolari), vale zero. Quando θ > 90°, è negativo, a indicare che i vettori divergono. Geometricamente, a · b equivale al modulo di a moltiplicato per la proiezione scalare di b su a.

Quando il prodotto scalare è zero?

Il prodotto scalare è zero ogni volta che cos θ = 0, condizione che si verifica per θ = 90°: i due vettori sono perpendicolari (ortogonali). Il prodotto scalare è zero anche se uno dei due vettori è il vettore nullo, indipendentemente dalla direzione. In molte applicazioni, un prodotto scalare nullo conferma che due forze, direzioni o assi sono del tutto indipendenti: ad esempio, i vettori della base canonica (1, 0, 0) e (0, 1, 0) hanno prodotto scalare zero.

Come si calcola l'angolo tra due vettori con il prodotto scalare?

Dalla definizione geometrica si ricava θ = arccos(a · b / (|a| |b|)). Si calcola il prodotto scalare, lo si divide per il prodotto dei due moduli per ottenere cos θ (un valore in [−1, 1]), quindi si applica l'arcocoseno. Il risultato è sempre compreso nell'intervallo [0°, 180°]. Esempio con a = (3, 4) e b = (0, 5): prodotto scalare = 20, |a| = 5, |b| = 5, quindi cos θ = 20/25 = 0,8 e θ = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

Come si calcola la proiezione di un vettore su un altro?

La proiezione scalare di a su b — la misura di quanto a si estende nella direzione di b — è a · b / |b|. La corrispondente proiezione vettoriale — un vettore nella direzione di b con quella lunghezza — è (a · b / |b|²) · b. Ad esempio, con a = (5, 3) e b = (1, 0), la proiezione scalare è 5 e la proiezione vettoriale è (5, 0), ossia la componente orizzontale di a. Le proiezioni sono fondamentali nella regressione ai minimi quadrati, nel calcolo delle ombre nella grafica 3D e nella scomposizione delle forze in componenti.

Da provare dopo

Prodotto vettoriale di due vettori 3D

Calcola il prodotto vettoriale di due vettori 3D: componenti del vettore risultante, modulo e area del parallelogramma. Con svolgimento passo per passo.

 Approfondisci
Calcolatore del modulo di un vettore

Calcola il modulo e il vettore unitario di un vettore n-dimensionale. Inserire le componenti separate da virgola; supporta 2D, 3D e dimensioni superiori.

 Approfondisci
Calcolatore della distanza tra due punti

Calcola la distanza tra due punti con la formula d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Ottieni Δx, Δy e la distanza d.

200+ calcolatori · 10 lingue · 100% gratis

Questo calcolatore ti è stato utile?

No

Come possiamo migliorare questo calcolatore?
Realizzato con OneCalc ↗