Ultimo aggiornamento: 2026-07-02

Decomposizione in fratti semplici

La decomposizione in fratti semplici riscrive una funzione razionale come somma di frazioni più semplici i cui denominatori sono i fattori del denominatore originale. Per una frazione propria — il cui numeratore ha grado minore del denominatore — con due fattori lineari distinti, la decomposizione ha la forma

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

In questa forma la frazione è molto più facile da integrare, da antitrasformare secondo Laplace o da sviluppare in serie.

Il metodo di copertura

Il modo più rapido per trovare $A$ e $B$ è il metodo di copertura (di Heaviside).

Passo 1 — Trovare A. Copri il fattore $(x - r_1)$ del denominatore e valuta ciò che resta in $x = r_1$:

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

Passo 2 — Trovare B. Copri il fattore $(x - r_2)$ e valuta il resto in $x = r_2$:

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

Perché il metodo funziona

Moltiplica entrambi i membri della decomposizione per $(x - r_1)$:

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

Poni ora $x = r_1$. Il secondo termine contiene il fattore $(x - r_1)$ e si annulla, lasciando direttamente $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$. Lo stesso ragionamento con $(x - r_2)$ isola $B$.

Esempio svolto

Decomponi $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Qui $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

Quindi

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

Verifica: riunendo sul denominatore comune,

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

Una scorciatoia utile

Per il numeratore $p\,x + q$, i due coefficienti soddisfano sempre $A + B = p$. L’uguaglianza del termine di grado massimo del numeratore ricombinato impone che la somma di $A$ e $B$ sia il coefficiente di $x$ del numeratore, offrendo un rapido controllo del risultato.

Servono radici distinte

La forma $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ presuppone due fattori lineari diversi.

Denominatore	Forma corretta
$(x - r_1)(x - r_2)$, distinti	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, ripetuto	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

La formula del metodo di copertura divide per $r_1 - r_2$, che è zero quando le radici coincidono; un fattore ripetuto richiede la seconda forma ed esula da questo calcolatore.

Impiego nell’integrazione

Il vantaggio principale è nell’analisi. Una funzione razionale è scomoda da integrare direttamente, ma ogni fratto semplice si integra subito:

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

Così, una volta decomposta,

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

Applicazioni

• Integrazione di funzioni razionali in analisi.
• Antitrasformate di Laplace in equazioni differenziali e teoria del controllo.
• Sviluppi in serie e funzioni generatrici in combinatoria.
• Elaborazione dei segnali, dove le funzioni di trasferimento si scindono in termini del primo ordine.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è la decomposizione in fratti semplici?

La decomposizione in fratti semplici riscrive una funzione razionale come somma di frazioni più semplici i cui denominatori sono i fattori del denominatore originale. Per una frazione propria (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) con due fattori lineari distinti, la decomposizione è A/(x − r₁) + B/(x − r₂). In questa forma la frazione è molto più facile da integrare, da antitrasformare secondo Laplace o da sviluppare in serie.

Come trova A e B il metodo di copertura?

Per trovare A, si copre il fattore (x − r₁) del denominatore e si valuta ciò che resta in x = r₁. Poiché il secondo termine A·(x − r₁)/(x − r₁) sopravvive solo quando viene coperto il proprio fattore, tutto il resto si annulla in quel valore. Il risultato è A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂). Per simmetria, B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). Il metodo evita di impostare e risolvere un sistema lineare.

Perché le due radici devono essere distinte?

La forma A/(x − r₁) + B/(x − r₂) presuppone due fattori lineari diversi. Se r₁ = r₂, il denominatore è un fattore ripetuto (x − r₁)² e la decomposizione corretta usa la forma A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². La formula del metodo di copertura divide per (r₁ − r₂), che è zero quando le radici coincidono, perciò questo calcolatore richiede radici distinte.

Come si usa nell’integrazione?

Una funzione razionale è difficile da integrare direttamente, ma ogni fratto semplice A/(x − r) si integra subito in A·ln|x − r| + C. Così, una volta decomposta (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) in A/(x − r₁) + B/(x − r₂), l’integrale è A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. È il primo passo standard per integrare le funzioni razionali in analisi.