Ultimo aggiornamento: 2026-07-13

Cosa fa questa calcolatrice

Questa calcolatrice risolve un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z con l’eliminazione di Gauss:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Scrive i dodici coefficienti e termini noti come matrice completa, riduce quella matrice alla forma a gradini con operazioni sulle righe e poi sostituisce all’indietro per restituire la soluzione (x, y, z). Quando la matrice dei coefficienti è singolare, segnala che il sistema non ha soluzione unica.

La matrice completa

Impilando i coefficienti e i secondi membri si ottiene la matrice completa, con una barra verticale che separa il blocco dei coefficienti dai termini noti:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

Ogni passo dell’eliminazione di Gauss è un’operazione sulle righe di questa matrice: scambiare due righe, moltiplicare una riga per uno scalare o aggiungere un multiplo di una riga a un’altra. Nessuna di esse cambia l’insieme delle soluzioni.

Eliminazione in avanti

L’obiettivo dell’eliminazione in avanti è creare zeri sotto la diagonale, una colonna alla volta, finché la matrice è triangolare superiore (forma a gradini).

Passo 1 — azzerare la colonna di x. Con il primo pivot a₁, si sottrae un multiplo della riga 1 alle righe 2 e 3:

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

Passo 2 — azzerare la colonna di y. Con il nuovo secondo pivot b₂′, si sottrae un multiplo della riga 2 alla riga 3:

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

La matrice è ora triangolare superiore:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

Sostituzione all’indietro

L’ultima riga contiene solo z, quindi si risolve direttamente e i valori si propagano verso l’alto:

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

Poiché la matrice è triangolare, il suo determinante è semplicemente il prodotto dei pivot sulla diagonale, $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. Un prodotto diverso da zero conferma una soluzione unica.

Esempio svolto

Risolviamo il sistema predefinito:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Passo 1 — moltiplicatori e prima passata. Con pivot a₁ = 2:

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

Sottraendo questi multipli della riga 1 si ottiene

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Passo 2 — azzerare la colonna di y. Con pivot b₂′ = 1/2:

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Passo 3 — sostituzione all’indietro:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

Il determinante è il prodotto dei pivot, $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$, che conferma la soluzione unica (x, y, z) = (2, 3, −1).

Verifica:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Quando l’eliminazione si blocca

Due situazioni interrompono la passata pulita descritta sopra:

• Pivot nullo, sistema non singolare. Se un coefficiente sulla diagonale è zero — per esempio quando la prima equazione non ha il termine in x — il moltiplicatore dividerebbe per zero. Il rimedio è il pivoting parziale: scambiare la riga interessata con una sottostante che abbia un elemento diverso da zero in quella colonna, poi continuare. La soluzione non cambia; cambia solo l’ordine delle righe. Il software numerico scambia anche verso il pivot più grande disponibile per contenere l’errore di arrotondamento.
• Pivot nullo non correggibile. Se l’eliminazione produce una riga di zeri lungo le colonne dei coefficienti, il determinante è zero e la matrice dei coefficienti è singolare. Il sistema ha allora infinite soluzioni (i termini noti sono compatibili con la dipendenza) oppure nessuna (la contraddicono). Non esiste un singolo (x, y, z).

Eliminazione di Gauss e regola di Cramer

Entrambi i metodi danno la stessa risposta per un sistema non singolare. La regola di Cramer esprime ogni incognita come rapporto di determinanti, elegante per un 3×3 ma costoso al crescere della dimensione. L’eliminazione di Gauss trasforma l’intero sistema con operazioni sulle righe e scala molto meglio: è l’ossatura dei risolutori lineari delle librerie numeriche. Ridurre fino alla forma a gradini ridotta (RREF), dove ogni pivot è 1 e anche gli elementi sopra sono annullati, permette di leggere la soluzione direttamente, senza un passo di sostituzione separato.

Applicazioni

I sistemi a tre variabili compaiono in algebra e nella preparazione all’analisi, nell’analisi dei circuiti con le leggi di Kirchhoff su tre maglie, nel bilanciamento delle reazioni chimiche e ovunque tre condizioni lineari debbano valere contemporaneamente. L’eliminazione di Gauss è il metodo manuale standard per questi sistemi e il punto di partenza concettuale per la fattorizzazione LU e per gran parte dell’algebra lineare computazionale.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è l’eliminazione di Gauss?

L’eliminazione di Gauss è un modo sistematico di risolvere un sistema lineare combinando le equazioni. Scrivendo il sistema come matrice completa, si sottraggono multipli di una riga alle altre per creare zeri sotto la diagonale, fino alla forma triangolare superiore (a gradini). L’ultima riga contiene allora una sola incognita e la sostituzione all’indietro ricava le altre dal basso verso l’alto.

In cosa differisce dalla regola di Cramer?

Entrambe portano alla stessa soluzione. La regola di Cramer scrive ogni incognita come rapporto di determinanti, compatto per un 3×3 ma presto oneroso. L’eliminazione di Gauss trasforma l’intero sistema con operazioni sulle righe; scala molto meglio ai sistemi grandi ed è il metodo alla base della maggior parte dei software di algebra lineare numerica. Questo strumento mostra i passaggi di eliminazione, mentre il determinante è riportato come prodotto dei pivot.

Qual è la differenza tra forma a gradini e forma a gradini ridotta?

La forma a gradini ha zeri sotto ogni elemento principale, con aspetto triangolare superiore, e si completa con la sostituzione all’indietro. La forma a gradini ridotta va oltre: ogni elemento principale è 1 e anche quelli sopra vengono annullati, così la soluzione si legge direttamente. Questa calcolatrice riduce alla forma a gradini e poi sostituisce all’indietro, il percorso classico dell’eliminazione di Gauss.

Perché il mio sistema mostra «nessuna soluzione unica»?

Quel messaggio compare quando il determinante è zero, il che significa che un’equazione è combinazione lineare delle altre. L’eliminazione produce allora una riga di zeri nelle colonne dei coefficienti. A seconda dei termini noti, il sistema ha infinite soluzioni o nessuna. La soluzione unica esiste solo quando tutti e tre i pivot sono diversi da zero.

Perché si scambiano le righe durante l’eliminazione?

Se il pivot per cui si deve dividere è zero, l’ordine naturale di eliminazione fallisce anche per un sistema con soluzione unica. Scambiando la riga interessata con una sottostante (pivoting parziale) si porta un elemento diverso da zero sulla diagonale, così l’eliminazione può continuare. Il software numerico scambia le righe anche per scegliere il pivot più grande disponibile, mantenendo piccoli gli errori di arrotondamento.