Ultimo aggiornamento: 2026-06-23

La dimensione del campione (proporzione)

Prima di condurre un sondaggio o un'indagine occorre rispondere a una domanda: quante persone devono rispondere? Raccogliere troppe poche risposte produce un margine di errore così ampio da non distinguere tra esiti realmente diversi; raccoglierne troppe spreca tempo e budget in una precisione che nessuno richiede. Quando la grandezza da stimare è una proporzione — la quota di chi approva, di chi acquisterebbe, di chi risponde "sì" — la dimensione del campione richiesta deriva direttamente da tre scelte: quanto si vuole essere sicuri, quanto si vuole essere precisi e una stima approssimativa della proporzione stessa.

La formula

Per stimare una proporzione di una popolazione, la dimensione del campione necessaria a raggiungere un margine di errore prefissato è

$n = \dfrac{z^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}$

Ogni termine ha un ruolo distinto:

• $z_{\alpha/2}$ è il valore critico della distribuzione normale standard per il livello di confidenza scelto. Vale 1,645 per il 90% di confidenza, 1,96 per il 95% e 2,576 per il 99%. Una confidenza maggiore implica un valore critico più grande e quindi un campione più ampio.
• $p$ è la proporzione attesa (assunta) che si sta stimando, espressa come frazione tra zero e uno. Il fattore $p\,(1 - p)$ è la varianza di una singola risposta sì/no.
• $E$ è il margine di errore, ovvero la semiampiezza dell'intervallo di confidenza, la precisione $\pm$ desiderata attorno alla stima. Un margine più piccolo compare al denominatore elevato al quadrato, perciò dimezzare il margine di errore quadruplica all'incirca il campione.

Perché il 50% è il valore di default più sicuro

Il termine $p\,(1 - p)$ è ciò che rende rilevante la proporzione e si comporta in modo conveniente. Vale zero quando la proporzione è 0 e quando è 1, e raggiunge il massimo di 0,25 esattamente quando la proporzione è 0,5. In altri termini, una proporzione vicina a un mezzo è la più difficile da stimare — le risposte sono massimamente variabili — mentre una proporzione vicina agli estremi è più semplice.

Se è già disponibile una stima credibile della proporzione da uno studio pilota o da ricerche precedenti, la si utilizza: un valore lontano da 0,5 produce un campione più piccolo e meno costoso. In assenza di un riferimento affidabile, però, assumere una proporzione di 0,5 è la scelta conservativa. Massimizza $p\,(1 - p)$, produce il campione richiesto più ampio e garantisce quindi il rispetto del margine di errore qualunque sia la proporzione reale.

Esempio svolto

Si supponga di voler stimare una proporzione di una popolazione con un livello di confidenza del 95% e un margine di errore di 5 punti percentuali, in assenza di una stima preliminare, assumendo quindi una proporzione di 0,5. Con un valore critico di 1,96:

Arrotondando per eccesso si ottengono 385 rispondenti, la cifra ricorrente dietro innumerevoli sondaggi "±3%" e "±5%". Richiedere invece il 99% di confidenza porta il valore critico a 2,576 e spinge il fabbisogno a 664. Se uno studio pilota suggerisse una proporzione reale più vicina al 30%, allora $p\,(1 - p)$ varrebbe 0,21 anziché 0,25, e con il 95% di confidenza il fabbisogno scenderebbe a 323.

Correzione per popolazione finita

La formula precedente presuppone una popolazione di fatto infinita, una buona approssimazione quando il campione è una piccola fetta di un gruppo numeroso. Quando il campione costituirebbe una frazione consistente di una popolazione piccola e nota $N$ — una regola pratica diffusa fissa la soglia attorno al 5% — si applica la correzione per popolazione finita:

$n_{\text{adj}} = \dfrac{n}{1 + \dfrac{n - 1}{N}}$

Questa abbassa sempre il fabbisogno, talvolta in misura sensibile. Intervistando 385 persone in un comune di 2.000 abitanti, per esempio, la correzione riduce il campione necessario a circa 323. Per popolazioni grandi l'aggiustamento è trascurabile e può essere ignorato.

Arrotondamento per eccesso

La dimensione del campione deve essere un numero intero di rispondenti e la formula quasi mai restituisce un numero intero. Conviene sempre arrotondare per eccesso anziché al valore più vicino: arrotondare per difetto lascerebbe il margine di errore ottenuto leggermente più ampio di quello indicato, mentre arrotondare per eccesso garantisce la precisione richiesta. La stessa logica governa il calcolatore complementare Calcolatore della dimensione del campione per una media, che dimensiona uno studio per stimare una media anziché una proporzione, e il calcolatore Calcolo del margine di errore, che percorre la relazione in senso inverso per riportare la precisione offerta da un campione dato.