Generato il: 13 giugno 2026 alle ore 18:02

Distribuzione di Poisson

Dati di input

Tasso3
Numero di eventi2

Grafico

Massa di probabilità 0

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/math/poisson-distribution

Matematica

Distribuzione di Poisson

Calcola P(X=k), P(X≤k) e P(X≥k) per una distribuzione di Poisson con parametro di tasso λ e numero di eventi k. Mostra le fasi di derivazione e il diagramma di distribuzione.

Dati di input

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Dettagli

Probabilità

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

Distribuzione

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La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di eventi indipendenti che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio, quando gli eventi occorrono a un tasso medio costante. È una delle distribuzioni più importanti della statistica, con applicazioni nella teoria delle code, nell'ingegneria dell'affidabilità, nell'epidemiologia e nella matematica finanziaria.

Funzione di massa di probabilità

Per un parametro di tasso λ > 0 e un intero non negativo k, la funzione di massa di probabilità (FMP) è definita come:

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

dove e è il numero di Nepero (≈ 2,71828) e k! è il fattoriale di k.

La funzione di ripartizione (FR) è la somma della FMP da 0 a k:

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

La probabilità complementare (almeno k eventi) si ricava dall'identità:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Media e varianza

La proprietà più caratteristica della distribuzione di Poisson è che la media e la varianza sono entrambe uguali a λ:

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

La deviazione standard è quindi √λ e il coefficiente di variazione è 1/√λ, decrescente all'aumentare di λ.

Esempio numerico

Un pronto soccorso ospedaliero riceve in media 5 pazienti per ora (λ = 5). Qual è la probabilità che arrivino esattamente 3 pazienti nella prossima ora?

P(X=3)=e−5⋅533!=e−5⋅1256≈0,1404P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \cdot 125}{6} \approx 0{,}1404

La probabilità è di circa 14,0 %. La probabilità di ricevere al più 3 pazienti:

P(X≤3)=∑i=03e−5⋅5ii!≈0,2650P(X \leq 3) = \sum_{i=0}^{3} \frac{e^{-5} \cdot 5^i}{i!} \approx 0{,}2650

La probabilità di ricevere almeno 3 pazienti:

P(X≥3)=1−P(X≤2)≈0,8753P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 0{,}8753

Derivazione dalla distribuzione binomiale

La distribuzione di Poisson emerge come caso limite della distribuzione binomiale Binomiale(n, p) quando n → ∞ e p → 0, con il prodotto np = λ che rimane costante:

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

I passaggi principali sono:

  • Il coefficiente binomiale n!/(k!(n−k)!) converge a n^k/k!.
  • p^k = (λ/n)^k contribuisce con λ^k/n^k, che si cancella con n^k.
  • (1 − λ/n)^n converge a e^−λ per n → ∞.

Perché media e varianza sono entrambe uguali a λ

Nella distribuzione binomiale, la media è np = λ e la varianza è np(1−p). Per p → 0, il fattore (1−p) → 1, così la varianza converge anch'essa a np = λ. Questa uguaglianza — media = varianza = λ — è il tratto distintivo della distribuzione di Poisson. Se i dati empirici mostrano una varianza nettamente superiore alla media (sovradispersione), un modello binomiale negativo può essere più adeguato.

Calcolo numerico

Per valori grandi di k, il calcolo separato di λ^k e k! può provocare overflow numerico. La forma logaritmica della FMP risolve questo problema:

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

Il termine log k! viene accumulato iterativamente come log 2 + log 3 + … + log k e infine si calcola l'esponenziale. Questo metodo mantiene la precisione numerica fino a valori di k dell'ordine di diverse centinaia.

Relazione con altre distribuzioni

  • Distribuzione binomiale: l'approssimazione di Poisson è affidabile per n ≥ 20 e p ≤ 0,05 (oppure n ≥ 100 e np ≤ 10).
  • Distribuzione esponenziale: il tempo di attesa tra eventi successivi in un processo di Poisson segue una distribuzione esponenziale con parametro λ; il tempo medio di attesa è 1/λ.
  • Distribuzione normale: per λ sufficientemente grande (indicativamente λ ≥ 30), la quantità (X − λ)/√λ ha distribuzione approssimativamente normale standard.
  • Distribuzione geometrica: modella il numero di prove fino al primo successo in esperimenti di Bernoulli indipendenti; il suo analogo continuo, la distribuzione esponenziale, si collega al processo di Poisson tramite il tempo di attesa inter-evento.

Applicazioni

  • Telecomunicazioni e reti: modellazione dei tassi di arrivo dei pacchetti nei router; i modelli di coda M/M/1 presuppongono arrivi poissoniani.
  • Ingegneria dell'affidabilità: stima del numero di guasti di componenti in un intervallo di tempo con tasso di guasto costante.
  • Epidemiologia: modellazione dei nuovi casi di malattia per settimana in una regione, con un tasso di incidenza costante.
  • Attuariato e gestione dei rischi: stima della frequenza dei sinistri e calcolo dei premi per eventi rari.
  • Fisica: conteggio di fotoni rilevati da un sensore o di disintegrazioni radioattive, poiché ogni nucleo decade in modo indipendente con probabilità costante per unità di tempo.

Domande frequenti (FAQ)

Quando è appropriata la distribuzione di Poisson?

La distribuzione di Poisson si usa per contare il numero di eventi indipendenti che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio, a condizione che: gli eventi si producano in modo indipendente, il tasso medio λ sia costante e due eventi non possano verificarsi esattamente nello stesso istante. Esempi tipici sono il numero di chiamate ricevute da un call center in un'ora, le disintegrazioni radioattive al secondo e gli errori tipografici per pagina.

Cosa rappresenta λ (lambda)?

λ è il numero medio di eventi attesi nell'intervallo scelto. Se un server riceve in media 5 richieste al minuto, allora λ = 5. L'intervallo può essere espresso in qualsiasi unità fissa — secondi, metri, pagine — purché λ venga adattato proporzionalmente. Per mezz'ora λ = 2,5; per due minuti λ = 10.

Qual è il legame tra la distribuzione di Poisson e la distribuzione binomiale?

La distribuzione di Poisson è il caso limite della distribuzione binomiale quando il numero di prove n → ∞ e la probabilità di successo p → 0, mantenendo costante il prodotto np = λ. In pratica, l'approssimazione poissoniana è accurata quando n ≥ 20 e p ≤ 0,05 (oppure n ≥ 100 e np ≤ 10). Sostituisce la formula binomiale, computazionalmente onerosa, con la più semplice e^−λ λ^k / k!.

Perché media e varianza sono entrambe uguali a λ?

Questa uguaglianza è una proprietà fondamentale della distribuzione di Poisson e discende dalla sua derivazione come limite della binomiale: media = np = λ, varianza = np(1−p) → np = λ per p → 0. Ne consegue che la deviazione standard è √λ e il coefficiente di variazione è 1/√λ. Se i dati osservati mostrano una varianza molto superiore alla media (sovradispersione), un modello binomiale negativo potrebbe risultare più adeguato.

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