Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Cono retto

Un cono retto è un solido geometrico con una base circolare e un vertice posizionato esattamente sopra il centro della base, in modo che l'asse sia perpendicolare al piano di base. Date il raggio della base r e l'altezza h, il calcolatore ricava il volume, la generatrice, l'area laterale e la superficie totale.

Formule

Per un cono con raggio della base r e altezza perpendicolare h:

La generatrice

La generatrice l è la distanza in linea retta dal vertice a qualsiasi punto del bordo della base, misurata lungo la superficie laterale. Poiché r, h e l formano un triangolo rettangolo, il teorema di Pitagora fornisce direttamente: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

La generatrice è essenziale per chi deve rivestire la superficie di un cono: la superficie laterale sviluppata è un settore circolare con raggio l e arco 2πr. Serve, ad esempio, per tagliare il cartone dei cappellini da festa o la lamiera delle cappe a cono.

Fattore 1/3: relazione con il cilindro

Il fattore 1/3 in V = (1/3)πr²h è uno dei risultati più antichi della geometria solida. Euclide dimostrò negli Elementi (Libro XII, Proposizione 10) che un cilindro con la stessa base e la stessa altezza può essere riempito da esattamente tre coni identici.

Si può verificare con l'acqua: riempiendo il cono tre volte e versandolo nel cilindro equivalente, questo risulta completamente pieno. Dal punto di vista matematico, il fattore 1/3 emerge integrando le sezioni circolari dalla base al vertice.

Esempio pratico

Un classico cono gelato ha raggio della base di circa 3,5 cm e altezza di 13 cm.

Generatrice: $l = \sqrt{3{,}5^2 + 13^2} = \sqrt{12{,}25 + 169} = \sqrt{181{,}25} \approx 13{,}5$ cm

Volume: V = (1/3) × π × 3,5² × 13 = (1/3) × π × 159,25 ≈ 166,6 cm³ (circa due tazzine da caffè)

Area laterale (la superficie croccante della cialda): A_lat = π × 3,5 × 13,5 ≈ 148,4 cm²

Superficie totale (inclusa la base): A_tot = π × 3,5 × (3,5 + 13,5) ≈ 186,9 cm²

Un birillo da cantiere ha r ≈ 15 cm e h ≈ 70 cm, con un volume di circa 16,5 litri e un'area laterale di circa 3.376 cm².

Validità: solo coni retti

Le formule si applicano al cono retto, in cui l'asse è perpendicolare alla base. Per il cono obliquo (vertice spostato lateralmente), la formula del volume V = (1/3)πr²h rimane valida se h è la vera altezza perpendicolare, ma l'espressione dell'area laterale è diversa e più complessa. Nella pratica, quasi tutti i coni della vita quotidiana — gelati, imbuti, birilli, cappellini — sono coni retti, e questo calcolatore copre la grande maggioranza dei casi.