Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Definizione

Il teorema del binomio sviluppa una potenza di una somma di due termini in una somma di termini:

Ogni termine unisce un coefficiente binomiale $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ ad $a$ elevato a $(n-k)$ e $b$ elevato a $k$. Quando $k$ va da $0$ a $n$, la potenza di $a$ scende da $n$ a $0$ mentre quella di $b$ sale da $0$ a $n$, così i due esponenti hanno sempre somma $n$.

Termine generale

Il singolo termine di indice $k$ (contato da $0$) è:

È ciò che calcola il campo dell'indice del termine. Con $k = 0$ si ottiene il termine iniziale $a^n$; con $k = n$, il termine finale $b^n$. Leggere un termine per volta è comodo quando serve solo un coefficiente preciso o il termine che porta una data potenza, senza scrivere tutto lo sviluppo.

Esempio svolto

Prendiamo $(2 + 3)^4$ e leggiamo il termine a $k = 2$. Prima il coefficiente:

Poi il termine completo $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$:

Lo sviluppo completo è $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$, che coincide con $5^4$ come verifica.

Coefficienti e triangolo di Tartaglia

I coefficienti $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ formano la riga $n$ del triangolo di Tartaglia, con il vertice contato come riga $0$. Rispettano la ricorrenza:

ogni elemento è quindi la somma dei due sovrastanti. Per $(a + b)^3$ la riga è $1, 3, 3, 1$; per $(a + b)^4$ è $1, 4, 6, 4, 1$. Il grafico dei coefficienti qui sopra traccia direttamente questa riga.

Simmetria

I coefficienti binomiali sono simmetrici:

una riga si legge quindi allo stesso modo da sinistra e da destra. Ciò riflette il fatto che scegliere quali $k$ fattori contribuiscono con un $b$ equivale a scegliere quali $n-k$ fattori contribuiscono con un $a$.

Somma dei coefficienti

Ponendo $a = b = 1$, il teorema si riduce a un'identità compatta:

I coefficienti di una qualsiasi riga si sommano quindi a una potenza di due: la riga di $n = 3$ dà $8$, quella di $n = 6$ dà $64$. Con $a = 1, b = -1$ si ottiene la somma a segni alterni, pari a $0$ per ogni $n \geq 1$.

Applicazioni comuni

• Algebra: sviluppo di polinomi e semplificazione di espressioni elevate a potenza.
• Probabilità: i coefficienti reggono la distribuzione binomiale, in cui $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ è la probabilità di $k$ successi in $n$ prove.
• Approssimazione: per $x$ piccolo, tenere i primi due termini di $(1 + x)^n$ dà la stima $1 + nx$.
• Combinatoria: identità come la somma di riga $2^n$ e la somma a segni alterni $0$ discendono direttamente dal teorema.

Note pratiche

Serve un esponente intero. La forma precedente presuppone che $n$ sia un numero intero. Esponenti frazionari o negativi usano la serie binomiale generalizzata, una somma infinita che è un altro argomento.

Termini iniziale e finale. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, quindi il primo e l'ultimo coefficiente di ogni sviluppo valgono $1$.

Per i soli coefficienti — i valori «$n$ su $k$» senza le potenze di $a$ e $b$ — si usa la Calcolatore di combinazioni — C(n, r).