Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Definizione

Una combinazione $C(n, r)$ conta il numero di modi di scegliere $r$ elementi da un insieme di $n$ elementi distinti, senza tener conto dell'ordine. Scegliere $\{A, B\}$ è identico a scegliere $\{B, A\}$.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

È anche detto coefficiente binomiale e si legge "$n$ su $r$" o "$n$ scelto $r$".

Esempio di calcolo

Quante mani da 5 carte si possono distribuire da un mazzo standard di 52 carte?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{.}598{.}960$$

Il risultato illustra la rapidità con cui crescono le combinazioni all'aumentare di $n$ e $r$.

Proprietà di simmetria

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

Scegliere 3 tra 10 equivale a decidere quali 7 escludere. Quando $r > n/2$, usare $C(n, n-r)$ semplifica il calcolo.

Triangolo di Pascal

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

Questa ricorrenza costruisce il triangolo di Pascal, la cui riga $n$ elenca $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

Combinazioni e disposizioni

Situazione	Formula	Motivazione
Commissione di 3 tra 10 candidati	$C(10, 3)$	Conta solo la composizione
Medaglie (oro, argento, bronzo) tra 10 atleti	$P(10, 3)$	La medaglia dipende dal piazzamento
6 numeri del lotto tra 1–90	$C(90, 6)$	Solo quali numeri, non l'ordine
PIN di 4 cifre senza ripetizione	$P(10, 4)$	La sequenza determina il codice

Per gli stessi $n$ e $r$: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

Applicazioni tipiche

• Probabilità: mani a poker, probabilità di vincita al lotto
• Formazione di squadre: scegliere giocatori da un gruppo
• Controllo qualità e ricerca: estrarre campioni rappresentativi da un lotto
• Distribuzione binomiale: base dei modelli probabilistici discreti

Note pratiche

Casi particolari. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: c'è esattamente un modo di non scegliere nulla e uno di scegliere tutto.

$r > n$ non è definito. Non si possono scegliere più elementi del totale disponibile; la calcolatrice mostra un errore in questo caso.

Domande frequenti (FAQ)

Cos'è una combinazione?

Una combinazione C(n, r) è il numero di modi di scegliere r elementi da un insieme di n elementi distinti quando l'ordine non ha importanza. Scegliere {A, B} è uguale a scegliere {B, A}. La formula è C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!), anche nota come coefficiente binomiale o "n su r".

Quando usare le combinazioni invece delle disposizioni?

Usa una combinazione quando conta solo il gruppo selezionato, non la sequenza: elezione di una commissione, numeri del lotto, scelta di ingredienti per una pizza. Usa una disposizione quando l'ordine determina il risultato: assegnazione di posti, classifiche, codici PIN. Per gli stessi n e r: C(n, r) = P(n, r) / r!.

Qual è la formula di C(n, r)?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). Il r! al denominatore divide tutte le disposizioni degli r elementi selezionati, poiché sono considerate la stessa combinazione. Esempio: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. Ci sono 10 modi di scegliere 2 elementi da 5 senza considerare l'ordine.