Ultimo aggiornamento: 2026-05-20

Il tronco di cono

Un tronco di cono è il solido che si ottiene tagliando un cono retto con un piano parallelo alla base e rimuovendo la calotta superiore. Ha due facce circolari — una base inferiore di raggio R e una base superiore di raggio r — collegate da una superficie laterale curva, con un'altezza h misurata perpendicolarmente tra le due basi.

Conoscere le formule di questo solido è indispensabile in geometria, ma anche in molti contesti pratici: dalla produzione di secchi e imbuti alla progettazione di sili e serbatoi industriali.

Formule

Tutte e quattro le grandezze di output si ricavano direttamente da R, r e h.

Apotema (altezza laterale): è la distanza, misurata sulla superficie laterale, tra un punto del bordo inferiore e il punto corrispondente sul bordo superiore.

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

Si tratta del teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono la differenza dei raggi e l'altezza verticale.

Volume: si ottiene sottraendo il cono rimosso dal cono originale.

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

Area laterale (solo la superficie curva): srotolando la superficie si ottiene un settore anulare piano.

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

Area totale: si aggiungono le due basi circolari.

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

Tronco di cono e cono intero

Il tronco di cono è semplicemente un cono con la punta tagliata. Quando il raggio superiore r = 0, le formule si riducono a quelle del cono intero (V = πR²h/3, area laterale = πRl). Quando invece r = R, il solido diventa un cilindro: l'apotema coincide con h, il volume vale πR²h e l'area laterale è 2πRh. Questi casi limite sono utili per verificare la correttezza dei calcoli.

Esempio pratico

Un secchio metallico ha il bordo superiore di diametro 15 cm, la base inferiore di diametro 22 cm e un'altezza di 28 cm. Calcola il volume e la superficie totale.

• R = 11 cm (raggio della base), r = 7,5 cm (raggio del bordo superiore), h = 28 cm
• $l = \sqrt{(11 - 7{,}5)^2 + 28^2} = \sqrt{12{,}25 + 784} = \sqrt{796{,}25} \approx 28{,}22$ cm
• V = (π × 28/3) × (121 + 82,5 + 56,25) = (π × 28/3) × 259,75 ≈ 7 616 cm³ ≈ 7,6 litri
• A_lat = π × (11 + 7,5) × 28,22 = π × 18,5 × 28,22 ≈ 1 639 cm²
• A_tot = 1 639 + π × 121 + π × 56,25 ≈ 1 639 + 380 + 177 ≈ 2 196 cm²

Il secchio contiene circa 7,6 litri e la sua fabbricazione richiede circa 2 196 cm² (≈ 0,22 m²) di lamiera, esclusa la sovrapposizione alla saldatura.

Origine della formula del volume

Il fattore (R² + Rr + r²) deriva dall'identità algebrica che compare quando si sottrae il cono piccolo da quello grande. Detto H l'altezza dall'apice alla base del cono originale:

$V_{\text{tronco}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

Eliminando H tramite la relazione di similitudine H/R = (H − h)/r e semplificando, l'espressione si riduce alla forma compatta indicata sopra. I tre termini — R², Rr e r² — possono essere interpretati rispettivamente come l'area della base inferiore, la media geometrica delle due basi e l'area della base superiore, ciascuna pesata con il fattore h/3.

Applicazioni

• Paralumi — calcolare l'area laterale della scocca a tronco di cono permette di determinare la quantità di tessuto o carta necessaria.
• Sili e tramogge industriali — la forma a tronco di cono facilita lo scorrimento dei materiali sfusi; il volume ne determina la capacità.
• Secchi e bicchieri — bicchieri di carta e secchi in plastica sono tronchi di cono a parete sottile: l'area laterale corrisponde alla superficie del foglio piano di partenza.
• Architettura — torri di raffreddamento, coperture coniche tronche e colonne decorative impiegano la geometria del tronco di cono.
• Aeronautica e missilistica — i raccordi tra la sezione cilindrica e la punta del veicolo sono spesso modellati come tronchi di cono per i calcoli della resistenza aerodinamica.